Enunciado

Use o Teorema de Pappus e o resultado do Exercício 39 para calcular o volume do sólido gerado quando a região limitada pelo eixo x e o semicírculo y = a 2 - x 2 gira em torno da

(b) reta y   =   x   -   a  

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Queremos achar esse volume sabendo que o centroide desse semicírculo está em:

x - ,   y - = 0 , 4 a 3 π

Vamos refletir como a gente faz isso. Vem comigo!

Passo 2

Temos o semicírculo que vai ser girado em torno dessa reta em verde. Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância d do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso a reta y = x - a .

Para achar essa distância, podemos usar a fórmula de distância entre um ponto P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) e uma reta na forma A x + B y + C = 0 :

d = A   x 0 + B   y 0 + C A 2 + B 2

Nosso ponto é o centroide:

P o = x - ,   y - = 0 , 4 a 3 π

E a reta é:

x - a - y = 0 ∴   A = 1 ,   B = - 1 ,   C = - a

Aí substituindo os coeficientes e os pontos na fórmulinha direitinho:

d = 1 ⋅ 0 + - 1 ⋅ 4 a 3 π + - a 2 = - 4 a 3 π + a 2 = 4 a 3 π + a 2 = 2 2 4 a 3 π + a

Passo 3

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência de raio d :

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π d = 2 π 2 2 4 a 3 π + a

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π 4 a 3 π + a

Passo 4

Precisamos da área da região. A área de R é a área de um semicírculo, então:

A R = π a 2 2

Passo 5

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

v o l u m e = π a 2 2 ⋅ 2 π 4 a 3 π + a = 2 π a 3 6 ( 4 + 3 π )

Arrasamos!

Resposta

v o l u m e = 2 π a 3 6 ( 4 + 3 π )

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