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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 31

Use o teorema de Pappus para encontrar o volume da esfera de raio 4 m.

Passo 1

Vamos lembrar qual o enunciado do teorema de Pappus: Se uma região plana girar em torno de uma reta em seu plano que não corta a região, então, a medida do volume do sólido de revolução gerado será igual ao produto da medida da área pela medida da distância percorrida pelo centróide da região.

Então teríamos a fórmula para o volume como sendo V = Á r e a ⋅ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a .

Agora devemos perceber que a esfera de raio 4 é obtida quando rotacionamos uma semi-circunferência de raio 4 em torno do eixo x , por exemplo. Lembrando que a equação dessa semi-circunferência seria y = 16 - x 2 , pois x 2 + y 2 = 4 é a equação da circunferência de raio 4 com centro na origem. Diante disso, temos:

Pela fórmula do teorema de Pappus, o volume da esfera seria:

V = Á r e a ⋅ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a = 16 π 2 ⋅ 2 π d = 16 π 2 d   m 3

Perceba que 2 π d é a distância percorrida pelo centróide quando fazemos a revolução dessa região em torno do eixo x (é o comprimento da circunferência de raio d ). Então para calcular esse volume, vamos precisar agora da ordenada do centróide, que tem comprimento d .

Passo 2

É importante perceber que nós vamos usar integrais em relação a x para achar o centróide e também que o eixo y é o eixo de simetria da região, logo o x do centróide é 0 , pois o centróide pertence ao eixo de simetria da região. Dessa forma só vamos precisar achar M x e a área da região, que é o que precisamos para achar o y do centróide.

Vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pela curva y = f ( x ) o eixo x , pelas retas x = a e x = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f x ≥   0     ∀ x ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x               e                   M y = ∫ a b x f ( x ) d x  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x e A . Sendo f x = 16 - x 2 .

Passo 3

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ - 4,4 ] . Isso vai ser direto, pessoal. É a área de uma semi-circunferência de raio 4 .

A = π r 2 2 = π ⋅ 16 2 = 8 π   u . a

Passo 4

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x = = 1 2 ∫ - 4 4 16 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ - 4 4 ( 16 - x 2 ) d x

= 1 2 16 x - x 3 3 - 4 4 = 1 2 16 ( 4 ) - ( 4 ) 3 3 - 16 ( - 4 ) - ( - 4 ) 3 3

= 1 2 64 - 64 3 - - 64 + 64 3 = 1 2 128 - 128 3 = 1 2 256 3 = 256 6 = 128 3

M x = 128 3

Passo 5

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = 0 , M x A = 0 , 128 3 8 π = 0 , 128 24 π = 0 , 16 3 π

Prontinho, achamos o centróide.

Passo 6

Acabamos de descobrir que d = 16 3 π , então, o volume é:

V = 16 π 2 d   m 3 = 16 π 2 16 3 π   m 3 = 256 π 3   m 3  

Prontinho.

Resposta

V = 256 π 3   m 3

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