Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 7
Use o teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
C o triângulo com vértices e .
Passo 1
Fala, galera! Tranquilo?
A questão aqui quer que a gente use o Teorema de Stokes para calcular:
Onde é:
E é o triângulo com os vértices e .
Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. Por definição:
onde
Então, vamos calcular o rotacional da função . Daí, aplicamos na nossa integral dupla e a partir da região que estamos calculando, definimos os limites de integração da nossa integral dupla.
Daí é só integrarmos de dentro pra fora, como já sabemos!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional da função:
Nossa função tem a estrutura:
Como nossa função é:
Temos que:
Assim, temos:
Resolvendo as derivadas parciais:
Passo 3
Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula:
onde e são as componentes e do rotacional:
Agora, precisamos expressar nossa região de integração em uma função do tipo . O triângulo com os vértices está no plano
Isolando , temos:
Calculamos suas derivadas parciais:
E:
Substituindo na nossa equação:
Passo 4
Veja que ainda faltam os limites de integração da nossa integral dupla. Olhando para o valor dos vértices da região do nosso triângulo
e
Vemos que:
Fazendo , estamos no plano e temos:
Isolando :
Então:
Assim, nossa integral fica:
Passo 5
Agora precisamos calcular nossa integral:
Tirando a constante para fora e integrando em :
Aplicando os limites de integração:
Agora finalmente integrando em :
Ficamos com: