Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção positiva do eixo y .

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S r o tF → ⋅ d S = - π

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 15

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .

é o hemisfério , , orientado na direção positiva do eixo .

Passo 1

E aí, pessoal! Tranquilo?

A questão pede para verificarmos se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial

Onde a superfície é o hemisfério

O teorema de Stokes diz que:

Ou seja, que a integral de linha do campo é igual a integral dupla do rotacional do campo. Então, vamos calcular os dois termos da equação acima e verificar se eles realmente são iguais.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando nossa integral de linha:

Nossa linha será a fronteira da superfície dada no enunciado:

, orientado na direção positiva do eixo

Ou seja, nosso hemisfério tem eixo no eixo e está acima do plano . Com , temos no plano o círculo de raio :

Como estamos tratando de um círculo, podemos usar coordenadas polares:

Como

Temos:

Como estamos no plano , temos . Então nosso vetor dos parâmetros é:

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e

Derivando esse vetor em relação a , temos:

Escrevendo o campo vetorial:

Em função das equações parametrizadas

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

Aplicando a equação:

Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:

Parâmetros em função de tem a seguinte variação:

Então nossa integral é:

Passo 4

Legal! O próximo passo é resolver a integral!

Usando a relação trigonométrica:

Ficamos com:

Separando numa subtração de integrais:

Resolvendo as duas integrais e aplicando os limites de integração:

Então:

Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral dupla:

Nossa superfície é:

é o hemisfério

Podemos parametrizar uma esfera usando coordenadas esféricas para a esfera de raio :

A curva pode ser parametrizada por:

E o vetor normal a essa superfície vai ser

Determinando os vetores e :

Componentes de

Derivadas em relação a :

Componentes de

Derivadas em relação a :

E o produto vetorial entre eles é:

Passo 6

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :

Fazendo o produto vetorial:

Resolvendo as derivadas parciais:

O produto escalar entre e fica:

Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:

Passo 7

Agora é colocar tudo na integral:

Resolvendo a integral de ficamos com a integral abaixo, cujo resultado já colocamos aqui para focarmos na aplicação do Teorema de Stokes (a resolução dessa integral aqui deixaria nossa questão muito grande e cansativa)

Agora comparando os resultados vemos que

Portanto, o Teorema de Stokes é verdadeiro.

Resposta

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