Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 15
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
é o hemisfério , , orientado na direção positiva do eixo .
Passo 1
E aí, pessoal! Tranquilo?
A questão pede para verificarmos se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial
Onde a superfície é o hemisfério
O teorema de Stokes diz que:
Ou seja, que a integral de linha do campo é igual a integral dupla do rotacional do campo. Então, vamos calcular os dois termos da equação acima e verificar se eles realmente são iguais.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando nossa integral de linha:
Nossa linha será a fronteira da superfície dada no enunciado:
, orientado na direção positiva do eixo
Ou seja, nosso hemisfério tem eixo no eixo e está acima do plano . Com , temos no plano o círculo de raio :
Como estamos tratando de um círculo, podemos usar coordenadas polares:
Como
Temos:
Como estamos no plano , temos . Então nosso vetor dos parâmetros é:
Passo 3
Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e
Derivando esse vetor em relação a , temos:
Escrevendo o campo vetorial:
Em função das equações parametrizadas
E o campo em função dessa nova parametrização fica:
Aplicando a equação:
Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:
Parâmetros em função de tem a seguinte variação:
Então nossa integral é:
Passo 4
Legal! O próximo passo é resolver a integral!
Usando a relação trigonométrica:
Ficamos com:
Separando numa subtração de integrais:
Resolvendo as duas integrais e aplicando os limites de integração:
Então:
Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.
Passo 5
Agora vamos calcular a integral dupla:
Nossa superfície é:
é o hemisfério
Podemos parametrizar uma esfera usando coordenadas esféricas para a esfera de raio :
A curva pode ser parametrizada por:
E o vetor normal a essa superfície vai ser
Determinando os vetores e :
- Componentes de
- Componentes de
Derivadas em relação a :
Derivadas em relação a :
E o produto vetorial entre eles é:
Passo 6
Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :
Fazendo o produto vetorial:
Resolvendo as derivadas parciais:
O produto escalar entre e fica:
Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:
Passo 7
Agora é colocar tudo na integral:
Resolvendo a integral de ficamos com a integral abaixo, cujo resultado já colocamos aqui para focarmos na aplicação do Teorema de Stokes (a resolução dessa integral aqui deixaria nossa questão muito grande e cansativa)
Agora comparando os resultados vemos que
Portanto, o Teorema de Stokes é verdadeiro.