O paraboloide z = 6 - x - x 2 - 2 y 2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto 1 ,   2 ,   - 4 . Use um computador para fazer o gráfico do paraboloide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela.

Passo 1

Olá, como vai? Espero que esteja bem, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Temos a paraboloide:

z = 6 - x - x 2 - 2 y 2

Que intercepta o plano:

x = 1

E nos gera uma parábola.

Queremos encontrar as equações paramétricas tangentes a essa parábola no ponto:

1,2 , - 4

Para isso primeiro devemos encontrar a equação da parábola, para isso devemos subsituiro do x = 1 na equação da paraboloide.

Depois disso deveremos lembrar que a equação da reta é dada por:

z = m y + b

Onde m é o coeficiente angular no ponto:

1,2 , - 4

Parai isso deveremos calcular:

∂ z ∂ y

Para a equação da parábola. O ponto b iremos descobrir considerando que:

1,2 , - 4

Pertence a essa reta, sendo assim basta substituir esse ponto nessa reta e encontramos o valor de b . Se ficou confuso não se preocupe, iremos fazer tudo bem devagar e você irá entender.

Passo 2

Pessoal, se substituirmos x = 1 na equação do paraboloide, encontraremos a equação da parábola de intersecção:

z = 6 - 1 - 1 2 - 2 y 2

z = 4 - 2 y 2

Para descobrirmos a inclinação da reta tangente a essa parábola, é só derivar ambos os lados da equação acima:

∂ z ∂ y = - 4 y

Como queremos descobrir as equações paramétricas da reta tangente no ponto 1 ,   2 ,   - 4 , vamos substituir y = 2 para descobrir a inclinação da reta:

∂ z ∂ y = - 4 ⋅ 2

∂ z ∂ y = - 8

Agora como o ponto 1,2 , - 4 pertence a reta, se substituirmos esse ponto na nossa reta, conseguiremos encontrar o valor de b :

z = - 8 y + b

Do ponto:

- 4 = - 8 ⋅ 2 + b

b = 12

Temos que nossa reta será então:

z = - 8 y + 12

Então, as equações paramétricas serão:

x = 1

Pois é o valor do nosso plano, poderemos então chamar:

y = t

Então teremos que:

z = 12 - 8 t

Passo 3

Show! Agora vamos usar um computador para fazer o seguinte gráfico:

Resposta

x = 1

y = t

z = 12 - 8 t

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