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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 25

25. int (3 d x)/(x^2 - 4 x + 1)

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

int (3 d x)/(x^2 - 4 x + 1)

Para prosseguir no cálculo, precisamos arrumar a integral, para que seja possível sua resolução. Teremos que completar o quadrado no denominador.

Completando o quadrado: x^2 - 4 x + 1 = (x - 2)^2 - 3

int (3 d x)/(( x - 2 )^2 - 3)

Vamos dividir tudo para rearranjar a integral:

int ((3 d x)/(3))/((( x - 2 ))/(3)^2 - (3)/(3))

= - int (d x)/(1 - ((x - 2))/(3)^2)

Fazendo – se

u^2 = ((x - 2))/(3)^2

u = (x - 2)/(sqrt(3)) d x

d u = (1)/(sqrt(3)) d x

Teremos:

= - sqrt(3) int (d u)/(1 - u^2) d u

- sqrt(3) * ((ln |u + 1| ) - ln |u - 1|))/(2) + c

Passo 2

- sqrt(3) * ((ln |1 + u| ) - ln |1 - u|))/(2) + c

Temos que: ln a - ln b = ln (a)/(b)

- sqrt(3) * (1)/(2) * ln |(1 + u)/(1 - u)| + c

Substituindo u = (x - 2)/(sqrt(3))

- (sqrt(3))/(2) * ln |(1 + (x - 2)/(sqrt(3)))/(1 - (x - 2)/(sqrt(3)))| + c

Resposta

- (sqrt(3))/(2) * ln |(1 + (x - 2)/(sqrt(3)))/(1 - (x - 2)/(sqrt(3)))| + c

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