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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 9

9- Utilizando o exercício 1 determine a função y = y(x), x ∈ R   , que satisfaça as condições dadas.

a)   d y d x = 2 y   e   y 0 =   1

b) d y d x = 1 2   y   e   y 0 =   2

c) d y d x = -   y   e   y 0 =   - 1

d) d y d x = 2   y   e   y 0 =   - 1 2

Passo 1

a)y´(x) = 2y

Pelo exercício 1, como α = 2 existe um K ∈ R , tal que y (x) = k   e 2 x

Como temos y (0) = 1, temos:

k   e 2.0 = 1

Logo, k = 1

Dessa forma,

y (x) =   e 2 x

Passo 2

b) y´(x) = 1 2 y

Pelo exercício 1, como α = 1 2 existe um K ∈ R , tal que y (x) = k   e 1 2 x

Como temos y (0) = 2, temos:

k   e 1 2 . 0 = 2

Dessa forma,

y (x) = 2   e 1 2 x    

Passo 3

c)y´(x) = -y

Pelo exercício 1, como α = - 1   existe um K ∈ R , tal que y (x) = k   e - x

Como temos y (0) = -1, temos:

k   e - 1.0 = - 1

Dessa forma,

y (x) = -   e - x    

Passo 4

d)y´(x) = 2   y

Pelo exercício 1, como α = 2   existe um K ∈ R , tal que y (x) = k   e 2 x

Como temos y (0) = - 1 2 , temos:

k   e 2 . 0 = - 1 2

Dessa forma,

y (x) = - 1 2 e 2 x    

Resposta

a)y (x) =   e 2 x

b) y (x) = 2   e 1 2 x    

c) y (x) = -   e - x    

d) y (x) = - 1 2 e 2 x    

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