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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2a

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = ln ⁡ 1,3

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = ln ⁡ x

f ' x = 1 x

f ' ' x = - 1 x 2

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 1 , além de f ( x 0 )

f 1 = ln ⁡ 1

f 1 = 0

f ' ( 1 ) = 1 1

f ' 1 = 1

f ' ' 1 = - 1 1 2

f ' ' 1 = - 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2

f x = 0 + 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2

f x =   x - 1 - x 2 2 + x - 1 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = - 3 2 + 2 x - x 2 2

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = ln ⁡ 1,3 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 1,3

P 2 1,3 = - 1 2 + 1,3 2

P 2 1,3 = 0,255

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x .

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 1,3

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = 2 x 3

f 1,3 = ln ⁡ 1,3

P x = P 2 1,3 = 0,255

ln ⁡ 1,3 - 0,255 ≤ 2 6 . 1,3 3 | 1,3 - 1 | 3

ln ⁡ 1,3 - 0,255 ≤ 0,0040964952207556

ln ⁡ 1,3 - 0,255 ≤ 10 - 2

Resposta

P 2 1,3 = 0,255

ln ⁡ 1,3 - 0,255 ≤ 10 - 2

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Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sqrt(4,001)
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