Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.

Abaixo da superfície z = x^3 * y^4 + x * y^2 e acima da região limitada pelas curvas y = x^3 - x e y = x^2 + x para x ≥ 0 .

Passo 1

E aí, meus queridos! Tudo na tranquilidade?

A questão pede para usarmos um software para calcular o volume do sólido limitado pelas regiões:

Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .

O que vamos fazer aqui é montar a integral:

V = ∬ D f x , y   d A

Definindo f x , y e os limites de integração da região D . Daí jogamos num software, como o WolframAlpha, essa integral e ela nos retornará o valor exato do volume V .

Bora pra resolução!

Passo 2

Vamos começar definindo D para conseguirmos os limites de integração. Lembrando que a região D se encontra no plano x y .

A região sob qual o sólido está acima é limitada por:

y = x 3 - x

E

y = x 2 + x

E essa região que o enunciado menciona é justamente D , então vamos plotar essas duas curvas.

O domínio de integração no plano x y , para x ≥ 0 é:

Olhando para o eixo x , vemos que as intersecções das duas curvas estão em:

x = 0 e x = 2

Como mostra a seta azul da imagem.

Já para os valores de y , temos que o limite inferior é:

y = x 3 - x

E o superior é:

y = x 2 + x

A função f ( x , y ) é a que limita o sólido superiormente, o próprio enunciado já nos traz que essa superfície é dada por:

f x , y = z = x 3 y 4 + x y 2

Assim, o volume é dado por:

V = ∫ 0 2 ∫ x 3 - x x 2 + x x 3 y 4 + x y 2 d y d x

Veja que colocamos como integral de dentro a integral d y , já que y depende de x em seus limites de integração.

Passo 3

Fazendo a integral exata usando uma calculadora gráfica (aqui, usei o como o WolframAlpha):

V = ∫ 0 2 ∫ x 3 - x x 2 + x x 3 y 4 + x y 2 d y d x

Temos:

V ≈ 961,2

Resposta

V ≈ 961,2

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