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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.7 - Ex. 19

Utilize coordenadas cilíndricas.

19. Calcule ∭ E y d V , onde E é o sólido que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do plano z = x + 2 .

Passo 1

Show de bola, galera?

Pra resolver essa questão não tem mistério :o

A questão pede pra calcular essa integral aqui, ó:

∭ E y d V

Onde temos informações sobre a região delimitada desse sólido E , que está entre esses dois cilindros:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

E abaixo do plano z = x + 2 .

Primeiro, vamos nos lembrar do conceito de coordenadas cilíndricas... As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ��� θ z = z d x d y d z = r d z d r d θ

Beleza... Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 como sendo:

1 ≤ x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 4

Assim, fazeremos uma substituição top:

1 ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 2 2

1 ≤ r 2 ≤ 2 2

1 ≤ r ≤ 2  

A informação de que a região está acima do plano x y pode ser traduzida como:

z ≥ 0

Já a informação de que a região está abaixo do plano z = x + 2 :

Logo, trocando por coordenadas cilíndricas:

z ≤ r cos ⁡ θ + 2

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E y d V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r d z d r d θ ⏟ d V

Passo 3

Calculando a integral, de dentro para fora...

Começando primeiro em relação a z :

∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ r d z

Colocamos esse r pra fora da integral, vamos resolvê-lo num outro momento.

r ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ   d z

r r s e n θ z 0 r cos ⁡ θ + 2

Substituindo os limites de integración...

r ⋅ r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ + 2

Agora integrando em relação a r

∫ 1 2 r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ + 2 r d r

Organizando, teremos:

∫ 1 2 r s e n θ r 2 cos ⁡ θ + 2 r d r

∫ 1 2 r 3   s e n θ   c o s θ + 2 r 2 s e n θ   d r

Podemos dividir essa integral em duas, assim teremos:

∫ 1 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d r + ∫ 1 2 2 r 2 s e n θ   d r

Colocando alguns termos para fora da integral como uma constante...

s e n θ   c o s θ ∫ 1 2 r 3 d r + 2 s e n θ ∫ 1 2 r 2   d r

s e n θ   c o s θ r 4 4 1 2 + 2 s e n θ r 3 3 1 2

s e n   θ cos ⁡ θ ⋅ 15 4 + 2   s e n θ   ⋅ 7 3

Agora em relação a θ :

∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ ⋅ 15 4 + 2   s e n θ   ⋅ 7 3   d θ

Podemos também:

∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ ⋅ 15 4 d θ + ∫ 0 2 π 2  senθ  ⋅ 7 3 ⁡ d θ  

Assim,

15 4 ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ d θ + 14 3 ∫ 0 2 π senθ ⁡ d θ

15 4 sen 2 ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ 0 + 14 3 - cos ⁡ θ 0 2 π ⏟ 0 = 0

Show? 😉

Resposta

∭ E y d V = 0

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Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 4 , π / 3 , - 2 ) ( 2 , - π / 2,1 )
Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∭ E z d V , onde E é limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e o plano z = 4 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. θ = π 6
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 4 2 x - y + z = 1