Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.

S é o disco dado por u^2 + v^2 ≤ 1 ; x = a * u , y = bv

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Vamos começar então!!!

Precisamos obter a imagem do conjunto S sob a transformação dada:

S é o disco dado por:

u 2 + v 2 ≤ 1

E,

x = a u

y = b v

Vamos com calma aqui, beleza?

Repare que temos a expressão do disco em função de u e v , e temos também uma relação de x e y com com os termos u e v .

Nosso objetivo é escrever uma expressão apenas em função de x e y , fazendo isso podemos obter a imagem.

Vamos nessa galera!!!

Passo 2

Vamos começar entendo nossa região S dada em função de u e v .

u 2 + v 2 ≤ 1

Ele já afirmou que é um disco, certo? E sabemos que um disco nada mais é que um circulo no plano u v .

Repare na figura:

Observe que se trocarmos u por x e v por y , vamos ter extamente a expressão do circulo que tanto conhecemos.

x 2 + y 2 ≤ 1

Até aqui foi só uma comparação, para compreendermos a região.

Passo 3

Agora vamos isolar u e v nas equações dadas do disco:

x = a u → u = x a

y = b v → v = y b

Substituindo, temos:

u 2 + v 2 ≤ 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

Observe essa expressão, ela também é muito conhecida. Temos aqui a representação de uma elipse.

Assim, a imagem de u 2 + v 2 ≤ 1 é uma região elíptica como na figura abaixo:

Resposta

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