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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 23a

Calcular as seguintes integrais:

int_(- 1)^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) int_0^(sqrt(1 - x^2 - y^2)) ( e^(x^2 + y^2 + z^2) ) d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até sqrt(1 - x^2 - y^2) .

Com isso nós deduzimos que:

z = sqrt(1 - x^2 - y^2)

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Legal, né? Então bora desenhar:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 1

p = +- 1

Então p estará entre:

0 <= p <= 1

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então para meia esfera:

0 <= ф <= (pi)/(2)

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

int_(- 1)^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) int_0^(sqrt(1 - x^2 - y^2)) ( e^(x^2 + y^2 + z^2) ) d z . d y . d x = ∭_T^() ( e^(p^3) ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_0^1 e^(p^3) p^2 . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_0^1 e^(p^3) p^2 . d p

Chamando:

u = p^3

d u = 3 p^2 d p -> (d u)/(3) = p^2 d p

= int_0^1 (e^u d u)/(3) = (1)/(3) int_0^1 e^u d u

= (1)/(3) . e^u

Substituindo u:

= (1)/(3) . e^(p^3)

E aplicando o intervalo:

= (1)/(3) [e^1 - e^0] = (e - 1)/(3)

Aplicando na integral:

= int_0^((pi)/(2)) [ int_0^(2 pi) ((e - 1)/(3)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((e - 1)/(3)) d theta = 2 pi (e - 1)/(3)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^((pi)/(2)) 2 pi (e - 1)/(3) . s e n (ф) . d ф

= 2 pi (e - 1)/(3) int_0^((pi)/(2)) s e n (ф) . d ф

= 2 pi (e - 1)/(3) ( - cos ф )

Aplicando o intervalo:

= - 2 pi (e - 1)/(3) (cos (pi)/(2) - cos 0)

= - 2 pi (e - 1)/(3) ( 0 - 1 )

= 2 pi (e - 1)/(3)

Prontinhoo!!

Resposta

2 pi (e - 1)/(3)

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