Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 22
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera e fora do cilindro .
Passo 1
Devemos calcular o volume do sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. Como queremos a região fora do cilindro , devemos ter (em polares). Além disso, no plano a interseção da esfera forma o círculo . Assim, como vamos integrar dentro dela, devemos ter . Portanto, o domínio de integração será
O cilindro apenas delimita a região de integração, devemos isolar na expressão da esfera para definir que função vamos integrar para achar o volume:
Assim,
Portanto,
Passo 2
Fazendo a integral em :
Fazendo a mudança , temos que . Assim,
Resposta
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Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = e - x 2 cos x 2 + y 2 e z = 2 - x 2 + y 2 para x ≤ 1 , y ≤ 1 . Use um sistema algébrico computacional para aproximar o volume
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 - x 2 - y 2 d y d x
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Use um sistema algébrico computacional para encontrar o valor exato da integral ∬ R x 5 y 3 e x y d A , onde R = 0,1 × 0,1 . Então use um CAS para desenhar o sólido que é dado pela integral.
Encontre o volume do sólido limitado pela superfície z = x 2 + x y 2 e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0 e y = ± 2 .