Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera e fora do cilindro .
Passo 1
Devemos calcular o volume do sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. Como queremos a região fora do cilindro , devemos ter (em polares). Além disso, no plano a interseção da esfera forma o círculo . Assim, como vamos integrar dentro dela, devemos ter . Portanto, o domínio de integração será
O cilindro apenas delimita a região de integração, devemos isolar na expressão da esfera para definir que função vamos integrar para achar o volume:
Assim,
Portanto,
Passo 2
Fazendo a integral em :
Fazendo a mudança , temos que . Assim,