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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 17

Use um diagrama de árvore para escrever a Regra da Cadeia em cada caso. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.

u = f x , y onde x = x r , s , t e y = y r , s , t

Passo 1

Show de bola, galera! Questãozinha de regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos dá uma função u r , s ,   t = f ( x , y ) onde

x = x ( r ,   s ,   t )

y = y r ,   s ,   t

Basicamente

g r , s ,   t = f ( x ( r ,   s ,   t ) , y r ,   s ,   t )

E pede para que usemos um diagrama de árvore para nos ajudar a montar as derivadas parciais g r , g s e g t .

O diagrama é bem autoexplicativo. Nós vamos montar ele da função u até cada uma das variáveis!

Passo 2

Se montarmos o diagrama das funções “de fora” para as “de dentro”, temos o seguinte:

Em que, para montar a expressão de uma derivada parcial, g r por exemplo, nós percorremos os “galhos” que levam a r da seguinte forma:

Onde por fim, podemos escrever

∂ f ∂ r =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

E da mesma forma para g s

Onde podemos escrever

∂ f ∂ s =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

E por fim, para g t

Onde podemos escrever

∂ f ∂ t =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t  

Resposta

∂ f ∂ r =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

∂ f ∂ s =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ f ∂ t =   ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Escrever a regra da cadeia parab) h ( x ) = f (x , u (x) , v ( x ))
Escrever a regra da cadeia parac) h ( u , v , w ) = f (x ( u , v , w ) , y (u , v) , z ( w ))
Escrever a regra da cadeia paraa) h ( x , y ) = f (x , u (x , y))