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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 19

17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

19 –

w = f r , s , t ,

onde r = r ( x , y ) , s = s ( x , y ) , t = t ( x , y ) .

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão a gente tem a função w = f ( r , s , t ) e a questão quer que a gente utilize um “diagrama em árvore” para exibir a derivada dessa função pela regra da cadeia.

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. O “diagrama em árvore”, de um jeito prático, consiste em derivar a função de “fora” primeiro e depois seguir com as funções “internas”.

Passo 2

Para uma variável, por exemplo, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função w = f ( x , y , z ) , onde x , y e z são funções de duas variáveis s e t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ t

Agora vamos aplicar isso para o caso da função dada no enunciado.

Passo 3

Assim, se a função w = f r , s , t , onde r = r x , y , s = s , x , y ,   t = t ( x , y ) , teremos então

∂ w ∂ x =   ∂ w ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x +   ∂ w ∂ s ⋅ ∂ s ∂ x + ∂ w ∂ t ⋅ ∂ t ∂ x  

e

∂ w ∂ y =   ∂ w ∂ r ⋅ ∂ r ∂ y +   ∂ w ∂ s ⋅ ∂ s ∂ y + ∂ w ∂ t ⋅ ∂ t ∂ y  

Resposta

∂ w ∂ x =   ∂ w ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x +   ∂ w ∂ s ⋅ ∂ s ∂ x + ∂ w ∂ t ⋅ ∂ t ∂ x  

∂ w ∂ y =   ∂ w ∂ r ⋅ ∂ r ∂ y +   ∂ w ∂ s ⋅ ∂ s ∂ y + ∂ w ∂ t ⋅ ∂ t ∂ y  

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