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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 16

Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g r , s = f ( 2 r - s , s 2 - 4 r ) . Use a tabela de valores para determinar g r ( 1 ,   2 ) e g s ( 1 ,   2 ) .

Passo 1

Show de bola, galera! Questãozinha de regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos dá uma função g r , s = f ( x , y ) onde

x ( r ,   s ) = 2 r - s

y ( r ,   s ) = s 2 - 4 r

Basicamente

g r , s = f ( x r , s , y r , s )

E queremos encontrar g r ( 1 ,   2 ) e g s ( 1 ,   2 )

OK, mas como encontramos essas derivadas parciais numa função assim? Aí que entra a Regra da Cadeia Deluxe!

Para uma função g = f ( x , y ) onde x e y são funções de ( r ,   s ) , as derivadas parciais g r e g s são dadas por:

g r =     f x ⋅ ∂ x ∂ r +     f y ⋅ ∂ y ∂ r

g s =     f x ⋅ ∂ x ∂ s +     f y ⋅ ∂ y ∂ s

Dessa forma, vamos precisar calcular todos os termos dessas equações para encontrar as derivadas parciais g r e g s !

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais das “funções” x e y !

Para encontrar a derivada de x em r consideramos s constante:

∂ x ∂ r = d 2 r - s d r

∂ x ∂ r = 2

Para encontrar a derivada de x em s consideramos r constante:

∂ x ∂ s = d 2 r - s d s

∂ x ∂ s = ⁡ - 1

Para encontrar a derivada de y em r consideramos s constante:

∂ y ∂ r = d s 2 - 4 r d r

∂ y ∂ r = - 4

Para encontrar a derivada de y em s consideramos t constante:

∂ y ∂ s = d s 2 - 4 r d s

∂ y ∂ s = ⁡ 2 s

Passo 3

Temos as derivadas parciais de x e y mas para completarmos as equações de g r e g s ainda precisamos de f x e   f y . Felizmente, a questão nos dá esses valores num gráfico!

Queremos g r ( 1 ,   2 ) e g s ( 1 ,   2 ) , então u ,   v = ( 1 ,   2 )

Para u ,   v = ( 1 ,   2 ) temos

x 1 ,   2 = 2 ⋅ 1 - 2

x 1 ,   2 = 0

y 1 ,   2 = 2 2 - 4 ⋅ 1

y 1 ,   2 = 0

Então vamos usar os valores de f x 0 ,   0 = 4 e f y 0 ,   0 = 8 para montar a equação!

Passo 4

Agora que temos todos os valores, podemos substituir tudo nas equações da regra da cadeia!

Para g r :

g r =     f x ⋅ ∂ x ∂ r +     f y ⋅ ∂ y ∂ r

g r =     4 ⋅ 2 - 8 ⋅ 4

g r ( 1 ,   2 ) =   - 24

Para g s :

g s =     f x ⋅ ∂ x ∂ s +     f y ⋅ ∂ y ∂ s

g s = -   4 ⋅ 1 +     8 ⋅ 2 ⋅ s

g s ( 1 ,   2 ) = -   4 ⋅ 1 +     8 ⋅ 2 ⋅ 2

g s 1 ,   2 = 28

Resposta

g r ( 1 ,   2 ) =   - 24

g s 1 ,   2 = 28

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Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v , usando a regra da cadeia z= e x y,x = u c o s v,y = u s e n v
Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + x^2 + y^2 , com x (t) = r c o s t e y (t) = r s e n t , encontrar (del f)/(del r) e (del f)/(del t)
Verificar a regra da cadeia para a função f (x , y) = ln x y , x = 2 u^2 + v^4 , y = 3 u^2 + v^2
Verificar a regra da cadeia para a função z = sqrt(u^2 + v^2 + 5) , u = c o s x , v = s e n y
Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v , usando a regra da cadeia z= ln ⁡ ( x 2 + y 2 ),x = c o s u c o s v,y =s e n u c o s v