Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 27

Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desigualdade de Taylor para estimar a gama de valores de para os quais a aproximação dada tem precisão dentro do erro estabelecido. Verifique sua resposta graficamente.

Passo 1

Fala galera, nesse exercício apesar de termos apenas dois termos a série parece ser do tipo alternada, logo a melhor opção é usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas, que é um teorema mais específico para esse tipo de série , acaba sendo mais direto e simples .

Relembrando o que diz o Teorema:

Então

Função que queremos aproximar.

: Soma dos primeiros termos da série de Taylor de

: Coeficiente do termo -ésimo na expansão de Taylor.

: Erro ou resto da série de Taylor, que quantifica a diferença entre a função original

e sua aproximação .

Mas o que isso quer dizer?

Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo, porque desconsidera o sinal de .

Então o que iremos fazer é achar quem é o próximo do termo da série e compará-lo com o erro que queremos obter. Vamos lá??

Passo 2

Se dermos uma olhada na série que os enunciado nos dá, ela é bem semelhante com a série de Maclaurin do :

Nós temos que :

Que pode se escrito como :

Lembra que no passo anterior vimos que precisávamos encontrar o próximo termo??

Olhando para as duas séries podemos afirmar que o próximo termo será

Beleza, agora o nosso erro precisa ser menor que esse termo que achamos. Podemos escrever isso de acordo com a fórmula:

Lembrando que

Passo 3

Se queremos um erro menor que , podemos dizer que

Isolando o

Passo 4

Agora podemos plotar esse gráfico em um software como o WolframAlpha ou até mesmo o chat gpt . Vai ficar assim:

Temos em vermelho o polinômio e em preto e , que são as margens de erro aceitáveis e o polinômio encontra o limite em , então os valores da nossa estimativa estão dentro da margem de erro.