Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x, y) = x^e^y, x^2 + y^2 = 2

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y = ∂ f x , y ∂ x , ∂ f x , y ∂ y

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função g ( x , y ) da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

x 2 + y 2 = 2

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y = 0 = x 2 + y 2 - 2

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y ∂ x = f x = ∂ ∂ x x e y = e y

∂ f x , y ∂ y = f y = ∂ ∂ y x e y = x e y

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y ) é dado por

∇ f x , y = e y , x e y

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y )

∂ g x , y ∂ x = g x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 - 2 = 2 x

∂ g x , y ∂ y = g y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 - 2 = 2 y

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y ) é dado por

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

e y , x e y = λ 2 x , 2 y

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

e y = 2 λ x x e y = 2 λ y

Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição g ( x , y ) , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações

e y = 2 λ x x e y = 2 λ y x 2 + y 2 = 2

Passo 5

Isolando o λ no sistema obtemos

λ = e y 2 x = x e y 2 y

Que nos dá como resultado

e y 2 y = x e y 2 x

2 y = 2 x 2

y = x 2

Substituindo na última equação do sistema

y + y 2 = 2

E a partir disso temos y = - 2 ,   y = 1 . Porém, como x 2 = - 2 não possui solução real, esse resultado pode ser descartado. Logo, y = 1 → x = ± 1 . O que nos dá como pontos críticos

1 , 1 ;     ( - 1 , 1 )

Passo 6

Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função f ( x , y ) para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo

f - 1 , 1 = - e

f 1 , 1 = e

Dessa forma, 1 , 1 é ponto de máximo e - 1 , 1 é ponto de mínimo da função sujeitos à restrição.

Resposta

- e     , e

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