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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 43

Utilize a identidade s e n 2 x = ( 1 - cos ⁡ 2 x ) / 2   para obter a série de Maclaurin para s e n 2 x . Então derive essa série para obter a série de Maclaurin para 2   s e n   x cos ⁡ x . Verifique que se trata de uma série para s e n   2 x .

Passo 1

Pelo enunciado, temos que:

s e n 2 x = ( 1 - cos ⁡ 2 x ) / 2  

Ou seja, desenvolvendo matematicamente, temos que:

s e n 2 x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x

Desenvolvendo um pouco mais:

s e n 2 x = 1 2 - 1 2   1 - 2 x 2 2 ! + 2 x 4 4 ! - 2 x 6 6 ! + …

Portanto, chegamos aos seguintes termos:

s e n 2 x = 2 x 2 2 ! - 2 3 x 4 4 ! + 2 5 x 6 6 ! - …

Passo 2

Fazendo agora a parte da derivada, temos que:

d d x ( s e n 2 x ) = d d x 2 x 2 2 ! - 2 3 x 4 4 ! + 2 5 x 6 6 ! - …

Ou seja:

d d x s e n 2 x = 2 x - 2 x 3 3 ! + 2 x 5 5 ! - 2 x 7 7 ! + …

Logo, temos que:

2   s e n   x cos ⁡ x =   2 x - 2 x 3 3 ! + 2 x 5 5 ! - 2 x 7 7 ! + …

Passo 3

E sabemos que:

2 x - 2 x 3 3 ! + 2 x 5 5 ! - 2 x 7 7 ! + … = s e n   2 x

Portanto, está verificada a condição.

Resposta

2 x - 2 x 3 3 ! + 2 x 5 5 ! - 2 x 7 7 ! + … = s e n   2 x

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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