Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 35
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 45
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
O enunciado cita pra gente o exercício 45:
“Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio ”
E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à uma restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Mas qual é função que estamos maximizando? E qual a restrição para esse caso?
A função que buscamos o valor máximo é a que descreve o volume da caixa! Ora, temos então uma caixa de dimensões e de forma que o volume é dado por
E ainda, se sabemos que a caixa está inscrita numa esfera de raio , então a distância do centro da esfera até os vértices da caixa é exatamente o raio! De forma que podemos descrever esse raio como
Ou ainda
Passo 2
Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes e ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:
Para
De forma que
Para
Analogamente, temos
De forma que
Ou ainda
Passo 3
Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever
Agora vamos analisar cada uma das igualdades!
Temos o seguinte sistema:
E incluindo a restrição, temos também
E de cara, pelas primeiras expressões, temos
E igualando quaisquer dessas expressões a nossa conclusão é a mesma:
E se substituirmos esses valores na equação da restrição obtemos
De forma que as dimensões da nossa caixa serão
E, ainda, o volume da caixa será
Resposta
O volume máximo dessa caixa é