Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.8 - Ex. 29
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 41
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
O enunciado cita pra gente o exercício 41:
“Determine os pontos do cone que estão mais próximos do ponto ”
E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à uma restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
E dessa forma, o plano proposto no enunciado é a nossa restrição!
Ou ainda
Mas qual é a função que estamos tentando maximizar/minimizar?
O enunciado nos diz “mais próximo do ponto ” então nós queremos minimizar uma função que descreva a distância de um ponto genérico no plano até !
E essa distância pode ser dada por
Mas se minimizarmos nós também estamos minimizando ! De forma que a função será
Passo 2
Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes e ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:
Para
De forma que
Para
De forma que
Ou ainda
Passo 3
Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever
Agora vamos analisar cada uma das igualdades!
Temos o seguinte sistema:
E incluindo a restrição, temos também
Que pode ser reescrito como
Da terceira equação obtemos
Substituindo isso na primeira e segunda equações obtemos
E substituindo na equação da restrição obtemos
Isto é, o ponto que torna a expressão com os multiplicadores de Lagrange verdadeira (e de tabela o ponto do cone mais próximo de ) é !
Resposta
O ponto do plano mais próximo de no cone é .