Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 41

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 41:

“Determine os pontos do cone z 2 = x 2 + y ² que estão mais próximos do ponto ( 4 ,   2 ,   0 )

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

E dessa forma, o plano proposto no enunciado é a nossa restrição!

z 2 = x 2 + y 2

Ou ainda

g x , y , z = z 2 - x 2 - y ²

Mas qual é a função que estamos tentando maximizar/minimizar?

O enunciado nos diz “mais próximo do ponto ( 4 ,   2 ,   0 ) ” então nós queremos minimizar uma função f x , y , z que descreva a distância de um ponto genérico x , y , z no plano até ( 4 ,   2 ,   0 ) !

E essa distância pode ser dada por

D ² = ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z ) 2

Mas se minimizarmos D ² nós também estamos minimizando D ! De forma que a função será

f x , y , z = ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z ) 2

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para ∇ f

∂ f ∂ x = ∂   ( ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z ) 2 ) ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ( x - 4 )

∂ f ∂ y = ∂   ( ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z ) 2 ) ∂ y

∂ f ∂ y = 2 ( y - 2 )

∂ f ∂ z = ∂   ( ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z ) 2 ) ∂ z

∂ f ∂ z = 2 z

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = 2 x - 4 , 2 y - 2 , 2 z

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( z 2 - x 2 - y ² ) ∂ x

∂ g ∂ x = - 2 x

∂ g ∂ y = ∂   ( z 2 - x 2 - y ² ) ∂ y

∂ g ∂ y = - 2 y

∂ g ∂ z = ∂   ( z 2 - x 2 - y ² ) ∂ z

∂ g ∂ z = 2 z

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = - 2 x ,   - 2 y ,   2 z

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = - 2 λ x ,   - 2 λ y ,   2 λ z

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

2 x - 4 , 2 y - 2 , 2 z = - 2 λ x ,   - 2 λ y ,   2 λ z

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

2 x - 4 = - 2 λ x

2 y - 2 = - 2 λ y

2 z = 2 λ z

E incluindo a restrição, temos também

z 2 = x 2 + y 2

Que pode ser reescrito como

x - 4 = - λ x

y - 2 = - λ y

z = λ z

z 2 = x 2 + y 2

Da terceira equação obtemos

λ = 1

Substituindo isso na primeira e segunda equações obtemos

x = 2

y = 1

E substituindo na equação da restrição obtemos

z = 5

Isto é, o ponto que torna a expressão com os multiplicadores de Lagrange verdadeira (e de tabela o ponto do cone mais próximo de ( 4 ,   2 ,   0 ) ) é x ,   y ,   z = 2 , 1 , 5 !

Resposta

O ponto do plano mais próximo de ( 4 ,   2 ,   0 ) no cone é 2 ,   1 , 5 .

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