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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 5

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^(s^2) cos (s^3) d t d s

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a t e considerar s como uma constante:

int_0^1 cos (s^3) (int_0^(s^2) d t) d s

int_0^(s^2) d t = [t]_0^(s^2)

int_0^(s^2) d t = s^2

Logo:

int_0^1 int_0^(s^2) cos (s^3) d t d s = int_0^1 s^2 cos (s^3) d s

Passo 2

Como temos uma multiplicação de funções com relação a s , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método de substituição. Consideraremos u = s^3 . Logo:

d u = 3 s^2 d s

Podemos dizer que:

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) int_0^1 cos (s^3) 3 s^2 d s

Portanto:

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) int_0^1 cos (u) d u

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) [sin u]_0^1

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) [sin (s^3)]_0^1

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) (sin 1^3 - sin 0^3)

Logo:

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = (1)/(3) sin 1

Então:

int_0^1 int_0^(s^2) cos (s^3) d t d s = (1)/(3) sin 1

Resposta

int_0^1 int_0^(s^2) cos (s^3) d t d s = (1)/(3) sin 1

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