Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) ⁡ y z x 2 + 4 y 2 + 9 z 2

Passo 1

Opa, e aí, tudo bem?! Aqui a gente tem o limite:

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) ⁡ y z x 2 + 4 y 2 + 9 z 2

A gente tem que ver se o limite existe, ou não. Se existir a gente calcula, se não existir a gente tem que provar que não existe!

Lá em Cálculo 1 o primeiro passo era sempre substituir os valores. Vamos tentar aqui também, vai que, né...

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) ⁡ y z x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 0 0

Chegamos em uma indeterminação, e aí, como a gente faz?

Lá em Cálculo 1 o limite existia quando ele era igual ao nos aproximarmos pela direita e pela esquerda. O problema é que aqui não tem só direita e esquerda hahaha!

Para o limite existir todos os caminhos tem que levar ao mesmo valor, então aqui a gente precisa provar que existem pelo menos dois caminhos diferentes que chegam a diferentes valores.

Passo 2

Show, então temos o limite:

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) ⁡ y z x 2 + 4 y 2 + 9 z 2

Precisamos escolher um caminho. Podemos testar:

z = m y

Onde m é a inclinação da reta. Assim a gente vai reescrever o limite de uma forma genérica e se no final o limite só depender de m , então ele não existe, por m pode ser qualquer valor!

Já o y a gente vai simplificar zerando ele. Ficamos então com:

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) ⁡ y m y 4 y 2 + 9 m y 2

Passo 3

Agora o limite depende apenas de y e m . A gente também pode dar uma arrumadinha:

lim y → 0 ⁡ m y 2 4 y 2 + m 2 y 2

Colocando o y 2 em evidência no denominador:

lim y → 0 ⁡ m y 2 y 2 4 + m 2

Podemos cortar o y 2 :

lim y → 0 ⁡ m y 2 y 2 4 + m 2

Opaa..a indeterminação foi embora, podemos calcular esse limite!

lim y → 0 ⁡ m 4 + m 2 = m 4 + m 2

O limite depende de m , que pode ser 1,2 , 5 , - 2 ...uma infinidade de possibilidades. Pra cada m vamos ter um resultado diferente. Portanto o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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