Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 32
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício 42.
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... temos a seguinte expressão de uma superfície:
Queremos determinar os pontos dessa superfície que estão mais próximos da origem!
Para isso, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores que desejamos!!
Obs: lembre-se que, como queremos os pontos próximos da origem, teremos que analisar os valores quando e .
Pera... mas quem é e quem é nossa restrição ??
Bom... sabemos que a distância de um ponto até a origem é dada por:
Dessa forma, chamar nossa função assim:
E a nossa função será a nossa superfície. Assim, podemos chamar ela assim:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , aplicando a Regra da Potência, temos:
De forma análoga, derivando em relação a :
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Vamos analisar isso mais a fundo com relação a origem?? 😉
Passo 5
Bom... vamos verificar o que acontece quando .
Substituindo na última equação, temos:
E, substituindo em , temos:
Perceba que, se , então da primeira e da terceira equação, isolando , teremos:
Isso implica que:
Passo 6
Para a segunda equação, temos:
Essa equação tem duas soluções:
Ou
Vamos analisar esse caso primeiro para e, depois para .
Assim, se , então na nossa restrição a gente tem:
Do passo anterior, vimos que . Assim, podemos inferir que:
Com esses valore de , temos que, os valores de são:
Para , temos:
E, para , temos:
Passo 7
Se , então da primeira equação, temos:
E da terceira equação, analogamente, teremos:
Isso implica que:
O que contradiz que !!!!
Dessa forma, os possíveis pontos são:
Agora vamos substituir em !!!
Passo 8
Para o ponto , temos
Já para o ponto , temos:
E, para o ponto , temos:
Assim, podemos concluir que o ponto mais próximo da origem é:
😉