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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 13

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z , t = x + y + z + t

x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

Passo 1

Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:

f x , y , z , t = x + y + z + t

Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:

x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

A gente pode transformar essa expressão em uma função g passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):

g x , y , z , t = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1

Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z , t sujeitos à restrição g x , y , z , t = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y , z , t = k ), então:

∇ f x , y , z , t = λ ⋅ ∇ g x , y , z , t

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z , t = x + y + z + t

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a x , aplicando a regra da potência, temos:

f x = ∂ ∂ x   x + y + z + t ∴

f x = 1

De forma análoga, derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y x + y + z + t ∴

f y = 1

Derivando em relação a z :

f z = ∂ ∂ z x + y + z + t ∴

f z = 1

E, derivando em relação a t :

f t = ∂ ∂ t x + y + z + t ∴

f t = 1

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = 1,1 , 1,1

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z , t = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1

Derivando com relação a x , aplicando a regra da potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1 ∴

g y = 2 y

Derivando z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1 ∴

g z = 2 z

E, derivando em relação a t :

g t = ∂ ∂ t x 2 + y 2 + z 2 + t 2 - 1 ∴

g t = 2 t

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z , 2 t

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z , t = λ ⋅ ∇ g x , y , z , t ∴

1,1 , 1,1 = λ ⋅ 2 x , 2 y , 2 z , 2 t

Daí, vamos tirar que:

1 = λ ⋅ 2 x 1 = λ ⋅ 2 y 1 = λ ⋅ 2 z 1 = λ ⋅ 2 t

Bom... vamos analisar da seguinte forma... isolando λ de cada equação:

λ = 1 2 x = 1 2 y = 1 2 z = 1 2 t

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Observe que aqui podemos dizer que:

x = y = z = t

Assim, da equação da nossa restrição, temos:

x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1

Dessa forma, podemos substituir as variáveis pela observação que acabamos de ter:

x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 1 ∴

x 2 = 1 4 ∴

x = ± 1 2 = y = z = t

Logo, temos esses dois valores ( 1 / 2 e - 1 / 2 ) como pontos críticos.

Vamos aplicar esses pontos críticos em f , a começar por x = y = z = t = 1 2 :

f x , y , z , t = x + y + z + t ∴

f 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 ∴

f 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 = 2

E, para x = y = z = t = - 1 2 , temos:

f - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 = - 1 2 + - 1 2 + - 1 2 + - 1 2 ∴

f - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 = - 2

Logo, podemos dizer que o nosso ponto de máximo ocorre em f = 2 e, o nosso ponto de mínimo, em f = - 2 .

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

Máximo em:

f 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 = 2

Mínimo em:

f - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 = - 2

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