Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x y z

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

Passo 1

Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:

f x , y , z = x y z

Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

A gente pode transformar essa expressão em uma função g passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):

g x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6

Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos à restrição g x , y , z = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y , z = k ), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = x y z

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a x , colocando o termo constante para fora, temos:

f x = ∂ ∂ x   x y z ∴

f x = y z ∂ ∂ x   x ∴

f x = y z

De forma análoga, derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y   x y z ∴

f y = x z ∂ ∂ y   y ∴

f y = x z

E, derivando em relação a z :

f z = ∂ ∂ z   x y z ∴

f z = x y ∂ ∂ z   z ∴

f z = x y

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = y z ,   x z ,   x y

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6

Derivando com relação a x , aplicando a regra da potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∴

g y = 4 y

E, por fim, derivando z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6 ∴

g z = 6 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x ,   4 y ,   6 z

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z ∴

y z ,   x z ,   x y = λ ⋅ 2 x ,   4 y ,   6 z

Daí, vamos tirar que:

y z = λ ⋅ 2 x x z = λ ⋅ 4 y x y = λ ⋅ 6 z

Uma solução desse sistema seria x = y = z = 0 . Maaaaass não faria sentido, pois iria contradizer a nossa expressão da restrição x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 .

E agora??? Bom... vamos analisar da seguinte forma... isolando λ de cada equação:

λ = y z 2 x = x z 4 y = x y 6 z

Opa, agora ficou melhor da gente visualizar!!

Passo 5

Perceba que:

y z 2 x = x z 4 y ∴

x 2 = 2 y 2

E que:

x z 4 y = x y 6 z ∴

z 2 = 2 3 y 2

Se substituirmos esses valores na nossa restrição, obtemos:

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 ∴

2 y 2 + 2 y 2 + 3 2 3 y 2 = 6 ∴

6 y 2 = 6

Isolando y , temos:

y = ± 1

Com isso, aplicando no nosso sistema de equações, encontraremos os seguintes extremos:

2 ,   ± 1 , 2 3

2 ,   ± 1 , - 2 3

- 2 ,   ± 1 , 2 3

- 2 ,   ± 1 , - 2 3

Agora qual é o ponto de máximo e qual é o ponto de mínimo?? Bora analisar!! 😉

Observação: Perceba que os nossos pontos são iguais em módulo!! Isso vai ajudar a gente a definir quais são os pontos de máximo e de mínimo.

Passo 6

Bom... vamos lá... vamos analisar novamente a nossa função f :

f x , y , z = x y z

Com isso, o máximo valor de f será quando todas as coordenadas são positivas ou quando apenas duas forem negativas!! Esses pontos serão:

2 ,   1 , 2 3

- 2 , -   1 , 2 3

2 , -   1 , - 2 3

- 2 ,   1 , - 2 3

Por outro lado, o mínimo valor de f será quando todas as coordenadas são negativas ou quando apenas duas forem positivas!! Esses pontos serão:

- 2 , - 1 , - 2 3

2 , -   1 , 2 3

2 ,   1 , - 2 3

- 2 ,   1 , 2 3

Perceba que, como todas as coordenadas são iguais em módulo, podemos encontrar os valores de máximo e mínimo de f :

f x , y , z = x y z ∴

f ± 2 , ± 1 , ± 2 3 = ± 2 ⋅ ± 1 ⋅ ± 2 3 ∴

f ± 2 , ± 1 , ± 2 3 = ± 2 3

Assim, f = 2 3 será máximo e f = - 2 3 será mínimo.

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

O máximo valor de f será quando todas as coordenadas são positivas ou quando apenas duas forem negativas. Além disso, o valor de máximo é:

f = 2 3

O mínimo valor de f será quando todas as coordenadas são negativas ou quando apenas duas forem positivas. Além disso, o valor de mínimo é:

f = - 2 3

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