Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 9
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:
Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:
A gente pode transformar essa expressão em uma função passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):
Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , colocando o termo constante para fora, temos:
De forma análoga, derivando em relação a :
E, derivando em relação a :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, por fim, derivando :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Uma solução desse sistema seria . Maaaaass não faria sentido, pois iria contradizer a nossa expressão da restrição .
E agora??? Bom... vamos analisar da seguinte forma... isolando de cada equação:
Opa, agora ficou melhor da gente visualizar!!
Passo 5
Perceba que:
E que:
Se substituirmos esses valores na nossa restrição, obtemos:
Isolando , temos:
Com isso, aplicando no nosso sistema de equações, encontraremos os seguintes extremos:
Agora qual é o ponto de máximo e qual é o ponto de mínimo?? Bora analisar!! 😉
Observação: Perceba que os nossos pontos são iguais em módulo!! Isso vai ajudar a gente a definir quais são os pontos de máximo e de mínimo.
Passo 6
Bom... vamos lá... vamos analisar novamente a nossa função :
Com isso, o máximo valor de será quando todas as coordenadas são positivas ou quando apenas duas forem negativas!! Esses pontos serão:
Por outro lado, o mínimo valor de será quando todas as coordenadas são negativas ou quando apenas duas forem positivas!! Esses pontos serão:
Perceba que, como todas as coordenadas são iguais em módulo, podemos encontrar os valores de máximo e mínimo de :
Assim, será máximo e será mínimo.
Prontinho! Conseguimos!
Resposta
O máximo valor de será quando todas as coordenadas são positivas ou quando apenas duas forem negativas. Além disso, o valor de máximo é:
O mínimo valor de será quando todas as coordenadas são negativas ou quando apenas duas forem positivas. Além disso, o valor de mínimo é: