Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

3 –

z = x y ,       ( 1,1 , 1 )

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão, nós temos a equação da superfície

z = x y

e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto ( 1,1 , 1 ) .

Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, y = f ( x ) , ela representa uma curva no R 2 . Dado um ponto dessa curva, y = f x 0 , podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

De forma análoga, dada uma função de duas variáveis z = f x , y , sabemos que ela representa uma superfície em R 3 . Dado um ponto nessa superfície, z = f x 0 , y 0 ,   podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

onde f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 são as derivadas parciais da função no ponto e z 0 = f ( x 0 , y 0 ) .

Agora que sabemos isso, vamos às contas...

Passo 2

Vamos pegar a nossa função

z = x y

e calcular f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 :

Primeiro calculamos f x :

f x = ∂ ∂ x x y

Temos uma função dentro da raiz quadrada, então precisamos da regra da cadeia:

f x = 1 2 x y ⋅ ∂ ∂ x x y

Assim,

f x = y 2 x y

No ponto 1,1 , 1

f x 1,1 = 1 2 1 ⋅ 1 = 1 2

Agora calculamos f y :

f y = ∂ ∂ y x y

Aqui fazemos os mesmos procedimentos que fizemos para x , o resultado será

f y = x 2 x y

No ponto 1,1 :  

f y 1,1 = 1 2 1 ⋅ 1 = 1 2

Passo 3

Agora basta a gente aplicar a equação para o plano tangente:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Veja que z 0 é o valor da terceira coordenada do ponto, ou seja, em ( 1,1 , 1 ) , z 0 = 1 .

Portanto,

z - 1 = 1 2 x - 1 + 1 2 y - 1

Abrindo os termos, obtemos

z = 1 + x 2 - 1 2 + y 2 - 1 2

Portanto,

z = x 2 + y 2

É a equação do plano tangente à superfície

z = x y

No ponto 1,1 , 1 .

Resposta

z = x 2 + y 2

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Dentre todos os pontos no gráfico de z = 10 – x2 – y2 que estãoacima do plano x + 2y + 3z = 0, encontre o ponto mais distanteno plano.
Encontre o ponto no gráfico de z = x2 + y2 + 10 mais próximodo plano x + 2y – z = 0.