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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.3 - Ex. 40

Determine as derivadas parciais indicadas.

40 –

f x , y = a r c t g x y ,     f x 2,3 .

Passo 1

Opa, fala aíí! Beleza?

Então, dada a função f x , y = a r c t g x y , o objetivo da questão é determinar a derivada parcial em relação a x no ponto ( 2,3 ) . Então, vamos derivar em relação a x , fixando a variável y como valor constante. E, depois, substituir o ponto ( 2,3 ) . Bora lá!

Passo 2

Nesse caso, será utilizada a regra da cadeia e é importante relembrar que a derivada de a r c t g u   é   1 1 + u ² .

Entretanto, lembre-se que se u for uma função, e não uma variável, temos que usar a regra da cadeia. Aí teremos:

∂ ∂ x a r c t g u = 1 1 + u 2 ⋅   ∂ ∂ x u ( x , y )  

Assim, se nossa função é

f x , y = a r c t g x y ,

temos:

f x ( x , y ) = ∂ ∂ x a r c t g x y

e

f x x , y = 1 1 + x y 2 ∙ ∂ ∂ x x y

f x x , y =   1 1 + x y 2 ∙ 1 y

Passo 3

Uma vez determinada a derivada parcial em relação a x , basta substituir x por 2 e y por 3 e teremos o valor da derivada no ponto 2,3 :

f x 2,3 = 1 1 + 2 2 3 2 ∙ 1 3

f x 2,3 = 1 3 1 + 4 9

Aqui nós reescrever isso como

f x 2,3 = 1 3 9 9 + 4 9

f x 2,3 = 1 3 13 9

Simplificando o 3 com o 9   e invertendo a fração, temos:

f x 2,3 = 3 13

Prontinho!! Só isso! 😊

Resposta

f x 2,3 = 3 13

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Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.T (x , y , z) = (x y z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.f ( x , y , z ) = (x^2 + y^2)/(z)
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.f (x , y , z) = x^2 y z - x z
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.f (x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5) = (E)/(x_1 - 2 x_2 - 3 x_3 + x_4 - x_5)
Seja f x , y = x 2 + y 2 + 1 ,s ex 2 + y 21 0 ,s ex 2 + y 2 ≥ 1 a) Esboçar o gráfico de f .b) Calcular, se existirem, ∂ f ∂ x ( 0 ,1 ) , ∂ f ∂ y 1 ,0 e ∂ f ∂ y ( 0 ,0 ) .