Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 7
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Oie, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A questão pede para acharmos os extremos da função sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!
A restrição pode ser escrita como:
E temos a nossa função que queremos encontrar os máximos e mínimos:
Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação:
Vamos então encontrar os gradiente, e com eles iremos obter um sistema em conjunto com a equação da restrição.
Iremos encontrar os pontos críticos, esse pontos críticos serão utilizados na função , o valor máximo é o ponto de máxima e o valor mínimo será o ponto de mínimo.
Passo 2
Tomando os gradientes:
Derivando em relação a variável que a gente quer e considerando todas as outras como constante:
E
E
Temos então nosso gradiente:
Realizando o mesmo procedimento para :
Vamos as derivadas:
E
E
Teremos então:
Assim, devemos resolver a equação:
Desta forma, devemos igualar cada coordenada:
Isolando , e em função de :
Substituindo essas relações na restrição:
Substituindo os valores que encontramos:
Assim,
Assim, os candidatos a extremos são:
Passo 3
Analisando o valor da função nesses pontos:
Substituindo os pontos:
Assim, é mínimo e é máximo.