Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = 2 x + 2 y + z ;                 x 2 + y 2 + z 2 = 9

Passo 1

Oie, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0

E temos a nossa função que queremos encontrar os máximos e mínimos:

f x , y , z = 2 x + 2 y + z

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação:

∇ f = λ   ∇ g

Vamos então encontrar os gradiente, e com eles iremos obter um sistema em conjunto com a equação da restrição.

Iremos encontrar os pontos críticos, esse pontos críticos serão utilizados na função f x , y , z , o valor máximo é o ponto de máxima e o valor mínimo será o ponto de mínimo.

Passo 2

Tomando os gradientes:

f x , y , z = 2 x + 2 y + z ;

Derivando em relação a variável que a gente quer e considerando todas as outras como constante:

f x = 2

E

f y = 2

E

f z = 1

Temos então nosso gradiente:

∇ f = ( 2 ,   2 ,   1 )

Realizando o mesmo procedimento para g :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9

Vamos as derivadas:

g x = 2 x

E

g y = 2 y

E

g z = 2 z

Teremos então:

∇ g = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

Assim, devemos resolver a equação:

2 ,   2 ,   1 = λ   2 x ,   2 y ,   2 z

Desta forma, devemos igualar cada coordenada:

2 x λ = 2 2 y λ = 2 2 z λ = 1

Isolando x , y e z em função de λ :

x = 1 λ ,   y = 1 λ     e     z = 1 2 λ

Substituindo essas relações na restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Substituindo os valores que encontramos:

1 λ 2 + 1 λ 2 + 1 4 λ 2 = 9

9 4 λ 2 = 9

λ 2 = 1 4

Assim,

λ = ± 1 2

Assim, os candidatos a extremos são:

- 2 ,   - 2 ,   - 1         e           ( 2 ,   2 ,   1 )

Passo 3

Analisando o valor da função nesses pontos:

f x , y , z = 2 x + 2 y + z ;

Substituindo os pontos:

f - 2 ,   - 2 ,   - 1 = - 4 - 4 - 1

f - 2 ,   - 2 ,   - 1 = - 9

f 2 ,   2 ,   1 = 4 + 4 + 1

f 2 ,   2 ,   1 = 9

Assim, ( - 2 ,   - 2 ,   - 1 ) é mínimo e ( 2 ,   2 ,   1 ) é máximo.

Resposta

f - 2 ,   - 2 ,   - 1 = - 9     →         m í n i m o

f 2 ,   2 ,   1 = 9       →         m á x i m o

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