Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 18
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como
Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que
Para resolver a questão devemos primeiro encontrar as funções e das restrições para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos .
Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.
Passo 2
A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível
Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma
De forma análoga para a outra restrição
Passo 3
Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Passo 4
Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver
Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores
Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações
Como as variáveis estão sujeitas a restrições e , essas restrições também devem fazer parte de nosso sistema de equações
Passo 5
Para resolver o sistema, podemos reorganizá-lo
A partir do sistema, podemos obter da terceira equação que .
Levando em conta as restrições do problema, .
Pela outra restrição, ou .
Temos pelas outras duas equações que e . Por conta disso, a partir da equação encontramos as soluções e .
Porém, como as duas restrições apresentadas no problema encontram-se na curva de nível , então , de modo que a primeira solução encontrada não é válida.
O ponto crítico da função associada a essas restrições é
Passo 6
Encontrado o pontos críticos, o substituiremos na função para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo
Calculando as segundas derivadas da função, temos que
Ou seja, há uma curvatura positiva em relação em todas as derivadas segundas, de modo que o ponto crítico encontrado é um ponto de mínimo.