Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 8
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
A questão pede para acharmos os extremos da função sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!
A restrição pode ser escrita como
Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação
E temos a nossa função que queremos encontrar os máximos e mínimos:
Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação:
Vamos então encontrar os gradiente, e com eles iremos obter um sistema em conjunto com a equação da restrição.
Iremos encontrar os pontos críticos, esse pontos críticos serão utilizados na função , o valor máximo é o ponto de máxima e o valor mínimo será o ponto de mínimo.
Passo 2
Tomando os gradientes:
Derivando em relação a variável que a gente quer e considerando todas as outras como constante:
E
E por ultimo:
Temos então o nosso gradiente:
Agora com :
Temos:
E
E por ultimo:
Assim, devemos resolver a equação
Desta forma, igualando cada coordenada:
Isolando , e em função de :
Substituindo essas relações na restrição:
Assim, apenas um candidato a extremo de sujeito a restrição:
Passo 3
Desta forma, não é possível analisar se ele é máximo ou mínimo! Note que, neste caso, a região que estamos estudando não é limitada: trata-se de um plano infinito! Assim, não podemos aplicar o teorema do valor extremo para garantir a existência de extremos!
De fato, isolando , encontramos
Essa função não tem máximo, porém apresenta um mínimo em ! Assim, é mínimo absoluto de sujeita à restrição. Todavia, não existe um máximo!
Resposta
Não tem máximo