Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;                 x + y + z = 12

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como

g x , y , z = x + y + z - 12 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação

∇ f = λ   ∇ g

E temos a nossa função que queremos encontrar os máximos e mínimos:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação:

∇ f = λ   ∇ g

Vamos então encontrar os gradiente, e com eles iremos obter um sistema em conjunto com a equação da restrição.

Iremos encontrar os pontos críticos, esse pontos críticos serão utilizados na função f x , y , z , o valor máximo é o ponto de máxima e o valor mínimo será o ponto de mínimo.

Passo 2

Tomando os gradientes:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Derivando em relação a variável que a gente quer e considerando todas as outras como constante:

f x = 2 x

E

f y = 2 y

E por ultimo:

f z = 2 z

Temos então o nosso gradiente:

∇ f = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

Agora com g :

g x , y , z = x + y + z - 12 = 0

Temos:

g x = 1

E

g y = 1

E por ultimo:

g z = 1

∇ g = ( 1 ,   1 ,   1 )

Assim, devemos resolver a equação

2 x ,   2 y ,   2 z = λ   1 ,   1 ,   1

Desta forma, igualando cada coordenada:

2 x = λ 2 y = λ 2 z = λ

Isolando x , y e z em função de λ :

x = y = z = λ 2

Substituindo essas relações na restrição:

λ 2 + λ 2 + λ 2 = 12

3 λ 2 = 12

λ = 8

Assim, apenas um candidato a extremo de f sujeito a restrição:

( 4 ,   4 ,   4 )

Passo 3

Desta forma, não é possível analisar se ele é máximo ou mínimo! Note que, neste caso, a região que estamos estudando não é limitada: trata-se de um plano infinito! Assim, não podemos aplicar o teorema do valor extremo para garantir a existência de extremos!

De fato, isolando z = 12 - x - y , encontramos

f x , y ,   12 - x - y = x 2 + y 2 + 12 - x - y 2

Essa função não tem máximo, porém apresenta um mínimo em ( 4 ,   4 ) ! Assim, ( 4 ,   4 ,   4 ) é mínimo absoluto de f sujeita à restrição. Todavia, não existe um máximo!

Resposta

f 4 ,   4 ,   4 = 48     →     m í n i m o

Não tem máximo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados