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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 17

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

h r , s ,   t = ln ⁡ ( 3 r + 6 s + 9 t ) ,                     1 ,   1 ,   1 ,               v → = ( 4 ,   12 ,   6 )

Passo 1

Olá, meu brother. Tudo bem?! Vou te ajudar a entender e resolver essa atividade hoje.

A questão pede para calcular a derivada direcional de h num ponto ( a ,   b ,   c ) na direção do vetor v → .

A derivada direcional de h , num ponto ( a ,   b ,   c ) , em uma direção a um vetor u → unitário qualquer é dada por:

D u h a ,   b ,   c = ∇ h a ,   b ,   c ⋅ u →

Em que:

∇ h a , b , c = h a ,   h b ,   h c

É o gradiente da função que queremos encontrar a derivada direcional.

Já u é o vetor unitário que corresponde a direção da derivada direcional.

Esse vetor precisa ser unitário, isso é, seu modulo precisar ter valor 1 .

Caso o vetor que nos é dado não tenha modulo de valor unitário, nós iremos normaliza-lo, isso é, iremos dividir esse vetor pelo seu modulo:

u → = v → v →

Passo 2

Neste caso, v → não está normalizado, então vamos começar normalizando ele:

v → = ( 4 ,   12 ,   6 )

Calculando o seu modulo:

v → = 16 + 144 + 36 = 14

Logo,

u → = v → v → = 4 14 , 12 14 , 6 14

u → = 2 7 , 6 7 , 3 7

Passo 3

Tomando o gradiente de h :

h r , s ,   t = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t

vamos utilizar a regra da cadeia aqui, lembre-se que ln ⁡ x ' = 1 x :

h x = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t '

Sendo g x a função interna:

h x = ln ⁡ g x ' ⋅ 3 r + 6 s + 9 t '

Teremos então:

h x = 3 3 r + 6 s + 9 t

Fazendo isso de forma similar para todas as outras derivadas parciais:

h y = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t '

Utilizado g y para função interna da regra da cadei:

h y = ln ⁡ g y ' ⋅ 3 r + 6 s + 9 t '

Teremos:

h y = 6 3 r + 6 s + 9 t

E por ultimo:

h z = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t '

Utilizado g z para função interna da regra da cadei:

h z = ln ⁡ g z ' ⋅ 3 r + 6 s + 9 t '

Teremos por ultimo então:

h z =   9 3 r + 6 s + 9 t

Nosso gradiente então será:

∇ h r ,   s ,   t = 3 3 r + 6 s + 9 t ,   6 3 r + 6 s + 9 t ,   9 3 r + 6 s + 9 t

Passo 4

Assim, com a ,   b ,   c = ( 1 ,   1 ,   1 ) , a gente substitui na formula que encontramos no passo anterior:

∇ h r ,   s ,   t = 3 3 r + 6 s + 9 t ,   6 3 r + 6 s + 9 t ,   9 3 r + 6 s + 9 t

Colocando os valores:

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 , 6 18 , 9 18

Portanto, utilizando a formula para derivada direcional:

D u h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 , 6 18 , 9 18 ⋅ 2 7 , 6 7 , 3 7

Logo, realizando esse produto escalar:

D u h 1 ,   1 ,   1 = 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ 6 + 3 ⋅ 9 18 ⋅ 7

D u h 1,1 , 1 = 69 18 ⋅ 7

D u h 1,1 , 1 = 23 42

Resposta

D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

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