Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 45
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de .
45.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Para este problema, vamos dá um remember para o seguinte teorema, ok, se converge de forma absoluta (MÓDULO) para , então, converge para . Para este caso, vamos fazer o seguinte
Nós sabemos que é uma série geométrica que converge quando . Com todas essas informações, nós já podemos supor que
Este módulo bonitinho tem como intervalo
Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que
Elevando todo mundo ao quadrado
Passo 2
Já conseguimos o intervalo de convergência, agora, já podemos notar que é uma série geométrica que termo inicial igual a 1 e taxa em comum , lembrando que, quando se tem uma soma de série geométrica com termo inicial e razão comum , nós podemos escrever essa série da seguinte forma:
Portanto,
Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que
Questão resolvida 😊.