Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 49
Para quais valores de x a série
converge? Qual é sua soma? Qual série você obtém se derivar a série dada termo a termo? Para quais valores de x a nova série converge? Qual é sua soma?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
O primeiro ponto que precisamos entender é que essa série pode ser escrita da seguinte forma:
Nesse caso, por causa da configuração da série, podemos aplicar o teste da razão, então
Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que
Passo 2
Esta série converge absolutamente para
Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência da série dada é 2. Vamos observar também que
Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, 1 e 5. Considerando , obtemos que
Essa série tem a característica de ser divergente, uma vez que o limite é igual . Agora, substituindo ,
Que olha só, também é divergente, portanto, o intervalo de convergência é dado por . A soma desta série geométrica convergente, no intervalo de
Passo 3
Agora, vamos testar a diferenciabilidade da série, vamos considerar a seguinte função
Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
Qual é a série necessária. Sabemos que o intervalo de convergência das séries derivadas permanece o mesmo. A nova série é convergente quando , e diverge quando e . A soma da nova série, no intervalo de , é dada por
Que claramente é a derivada de .