Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 51
A série
converge para para todo .
a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para . Para quais valores de a série deve convergir?
b. Substituindo x por 2x na série para , encontre uma série que convirja para para todo x.
c. Utilizando o resultado no item (a) e a multiplicação de séries, calcule os seis primeiros termos de uma série para . Compare sua resposta com a resposta no item (b)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Primeira coisa a ser dita, só para dar um norte, pelo Teorema 21, a série obtida pela diferenciação termo a termo da série original converge para para todo . Diferenciando a série dada de ambos os lados em relação a , obtemos
Com isso,
Desenvolvendo um pouco mais os termos, acredite, isso vai facilitar bastante nossos cálculos
Portanto, nós temos que
Passo 2
A série dada no passo anterior o
Considerando as séries . Aplicando o teste da razão para a série , logo,
Desenvolvendo um pouco mais os termos
Tirando o do somatório, já que nesse caso ele funciona como uma constante
Como é módulo, o sinal não faz diferença (para esse caso)
O limite do lado direito é igual a 0, com isso
Portanto, pelo teste da razão, a série é convergente para todo .
Passo 3
B - Sabemos que a série dada converge para todos os valores de . Colocando na série dada para ,
Desenvolvendo os termos
Que nos fornece o seguinte resultado
A série converge para para todo .
Passo 4
C – Do resultado da letra a), podemos supor o seguinte
Com isso, nós temos que
Percebeu que basicamente é a mesma série de , e que estamos provando a identidade .