Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x * e^x

Passo 1

Opa, pessoal! Tudo belezinha? Pois vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

A nossa estratégia aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

e x = 1 + x + x 2 2 ! + … + x n n ! + …

De acordo com esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 2

Agora vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x e x = x e x

Logo, podemos escrever a função da nossa série como:

x e x = x ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos:

x e x = ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = x + x 2 + x 3 2 ! + x 4 3 ! + x 5 4 ! + …

Resposta

∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = x + x 2 + x 3 2 ! + x 4 3 ! + x 5 4 ! + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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