Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 12

Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

12-

z = s e n   α   t g   β ,       α = 3 s + t ,     β = s - t

Passo 1

Faaaaala galera! Essa questão nos deu a função

z = s e n   α   t g   β ,

onde   α = 3 s + t   e β = s - t e quer que a gente determine as derivadas ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Veja que z   não depende explicitamente de s e t , mas indiretamente por meio de α e β . Dessa forma, vamos precisar da regra da cadeia!

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função z = f ( α , β ) , onde α e β   são funções de um parâmetro t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ f ( α , β ) ∂ t = ∂ z ∂ α ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ z ∂ β ⋅ ∂ y ∂ t

Da mesma forma, se   α e β   dependem de um parâmetro s , teremos:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Então, nessa questão, o nosso trabalho é calcular essas derivadas e substituir nas expressões para ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ z / ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ α ∂ α ∂ s + ∂ z ∂ β ∂ β ∂ s

Para lembrar,

z = s e n   α   t g   β

e α = 3 s + t   e β = s - t .

Então, derivando z parcialmente com relação a α ,   obtemos

∂ z ∂ α = ∂ ∂ α ( sen ⁡ α tg ⁡ β )

Note que somente o seno depende de α , de modo que

∂ z ∂ α = cos ⁡ α tg ⁡ β

Agora derivamos α com relação a s :

∂ α ∂ s = ∂ ∂ s 3 s + t = 3

As derivadas do segundo termo serão obtidas agora.

Derivando z com relação a β , obtemos

∂ z ∂ β = ∂ ∂ β ( sen ⁡ α tg ⁡ β )  

∂ z ∂ β = sen ⁡ α ⋅ ∂ ∂ β ( tg ⁡ β )

Lembrando que a derivada da tangente é:

d d x   t g   x = sec 2 ⁡ x

Isso nos dá

∂ z ∂ β = sen ⁡ α ⋅ sec 2 ⁡ β

Agora derivamos β com relação a s :

∂ β ∂ s = ∂ ∂ s s - t = 1

Então, juntando todos esses resultados:

∂ z ∂ s = 3 tg ⁡ β cos ⁡ α + sen ⁡ α sec 2 ⁡ β

Passo 3

Agora calcularemos ∂ z / ∂ t , dado pela seguinte expressão:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ α ∂ α ∂ t + ∂ z ∂ β ∂ β ∂ t

Note que já calculamos as seguintes derivadas:

∂ z ∂ α         e         ∂ z ∂ β

Então só precisamos calcular as derivadas de α com relação a t e β com relação a t .

Lembrando que

z = s e n   α   t g   β

α = 3 s + t   e β = s - t .

Começando por α :

∂ α ∂ t = ∂ ∂ t 3 s + t = 1

Agora derivando β com relação a t :

∂ β ∂ t = ∂ ∂ t s - t = - 1

Logo:

∂ z ∂ t = tg ⁡ β cos ⁡ α - sen ⁡ α sec 2 ⁡ β

Resposta

∂ z ∂ s = 3 tg ⁡ β cos ⁡ α + sen ⁡ α sec 2 ⁡ β

∂ z ∂ t = tg ⁡ β cos ⁡ α - sen ⁡ α sec 2 ⁡ β

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1m e w = h = 2m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2m / s enquanto h es
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. P = u 2 + v 2 + w 2 , u = x e y , v = y e x , w = e x y ; ∂ P ∂ x , ∂ P ∂ yq u a n d ox = 0 e y = 2
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. u = x e t y , x = α 2 β , y = β 2 γ , t = γ 2 α ; ∂ u ∂ α , ∂ u ∂ β , ∂ u ∂ γq u a n d oα = - 1 , β = 2 ,γ = 1
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. N = p + q p + r , p = u + v w , q = v + u w , r = w + u v ; ∂ N ∂ u , ∂ N ∂ v , ∂ N ∂ wq u a n d ou = 2 , v = 3 ,w = 4
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 p o l / s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 p o l / s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o ra