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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 25

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

N = p + q p + r ,             p = u + v w ,             q = v + u w ,             r = w + u v ;

∂ N ∂ u ,     ∂ N ∂ v ,                 ∂ N ∂ w               q u a n d o   u = 2 ,         v = 3 ,           w = 4

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

Nesse problema nós temos a função

N = p + q p + r

que é uma função de três variáveis. Essas três variáveis dependem ainda de três variáveis, u , v e w .

Sabendo disso, precisamos calcular

∂ N ∂ u ,     ∂ N ∂ v ,                 ∂ N ∂ w

quando u = 2 ,         v = 3 ,           w = 4 .

Para calcular essas derivadas nós vamos precisar da regra da cadeia, visto que N não depende diretamente de u , v e w .  

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) onde x = x ( t ) e queremos determinar a derivada de f com relação a esse parâmetro t , devemos fazer

d f d t = d f d x ⋅ d x d t

Analogamente, se temos uma função   N = N ( p , q , r ) , onde essas variáveis dependem de outras três variáveis u , v   e   w , devemos aplicar a mesma lógica acima. Cada variável da função N vai dar origem a um termo, portanto teremos a soma de três termos:

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ u

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ v

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ w

Beleza? Então vamos às contas...

Passo 2

Vamos tomar as derivadas com relação a p , q e r :

Lembrando que

N = p + q p + r

Derivando com relação a p , teremos (pela regra do quociente):

∂ N ∂ p = p + r - p - q p + r 2 = r - q p + r 2

Derivando N com relação a q :  

∂ N ∂ q = 1 p + r

Agora derivando com relação a r :

∂ N ∂ r = - p + q p + r 2

Quando u = 2 , v = 3 e w = 4 , temos que

p = 2 + 12 = 14

q = 3 + 8 = 11

r = 4 + 6 = 10

Assim,

∂ N ∂ p = - 1 576

∂ N ∂ q = 1 24

∂ N ∂ r = - 25 576

Passo 3

Agora fazemos as derivadas de p , q e r com relação a u , v e w :

Lembrando que p = u + v w ,             q = v + u w ,             r = w + u v :

∂ p ∂ u = 1 ,           ∂ p ∂ v = w = 4             e                 ∂ p ∂ w = v = 3

∂ q ∂ u = w = 4 ,           ∂ q ∂ v = 1             e                 ∂ q ∂ w = u = 2

∂ r ∂ u = v = 3 ,           ∂ r ∂ v = u = 2           e                 ∂ r ∂ w = 1

Passo 4

Portanto, substituindo os resultados obtidos, teremos:

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ u

∂ N ∂ u = - 1 576 ⋅ 1 + 1 24 ⋅ 4 - 25 576 ⋅ 3

Logo,

∂ N ∂ u = 20 576 = 10 288 = 5 144

Analogamente,

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ v

∂ N ∂ v = - 1 576 ⋅ 4 + 1 24 ⋅ 1 - 25 576 ⋅ 2

Portanto,

∂ N ∂ v = - 30 576 = - 15 288 = - 5 96

Por fim,

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ w

∂ N ∂ w = - 1 576 ⋅ 3 + 1 24 ⋅ 2 - 25 576 ⋅ 1

e

∂ N ∂ w = 20 576 = 10 288 = 5 / 144

Resposta

∂ N ∂ u = 5 144

∂ N ∂ v = - 5 96

∂ N ∂ w = 5 144

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .7. z = x^2 y^3 , x = s cos t , y = s sen t