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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 11d

Verificar a regra da cadeia para a função

f (u , v) = u v - v^2 + 2 , u = x^2 + y^2 , v = x - y + x y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z (x , y) = f (u (x , y) , v (x , y))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del u) = v

(del f)/(del v) = u - 2 v

(del u)/(del x) = 2 x

(del v)/(del x) = 1 + y

(del u)/(del y) = 2 y

(del v)/(del y) = - 1 + x

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

(del z)/(del x) = ( v ) ( 2 x ) + ( u - 2 v ) ( 1 + y )

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

(del z)/(del y) = ( v ) ( 2 y ) + ( u - 2 v ) ( - 1 + x )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

(del z)/(del x) = ( x - y + x y ) ( 2 x ) + ( x^2 + y^2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( 1 + y )

(del z)/(del y) = ( x - y + x y ) ( 2 y ) + ( x^2 + y^2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( - 1 + x )

Resposta

(del z)/(del x) = ( x - y + x y ) ( 2 x ) + ( x^2 + y^2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( 1 + y )

(del z)/(del y) = ( x - y + x y ) ( 2 y ) + ( x^2 + y^2 - 2 ( x - y + x y ) ) ( - 1 + x )

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