Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 7
Encontre a sére de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Fala, time! Tudo firmeza?
questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de :
Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:
Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Achar o raio de convergência de uma série é achar para quais valores de nossa série converge. E para isso vamos usar o Teste da Razão, que facilita bastante nossos processos quando temos termos fatoriais, que é o caso da série de Maclaurin. Relembrando o Teste da Razão: calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.
Vamos pro nosso passo a passo!
Passo 2
Para a s��rie de Maclaurin temos que:
O enunciado nos deu que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma lista. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir , neste caso .
Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de :
Passo 3
Podemos escrever como:
Usando os dados do passo 1, temos:
Podemos então representar essa expressão em termos da série:
Passo 4
Para nossa questão, temos:
Fazendo :
Para encontrarmos o raio de convergência , podemos fazer:
Então já vamos escrever essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. Como temos módulo, já podemos eliminar os termos negativos e :
Abrindo as somas no expoente com a propriedade:
Simplificando os termos:
Abrindo os termos fatoriais, simplificando os termos e já retirando os termos de dentro do módulo, inclusive , pois é sempre positivo:
Por fim já podemos calcular nosso limite:
Nosso limite é . O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que e isso é verdade para qualquer valor de .
Como não temos nenhuma restrição para o valor de na nossa série, seu raio de convergência é: