Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 15
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
E aí, pessoal! De boa?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de em .
Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e depois escrever os termos da série.
Por fim, quando a gente precisar encontrar o Raio de convergência, o que precisamos achar é basicamente para quais valores de nossa série vai convergir. Como a série em questão que será uma série de Taylor e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente (o mesmo para )
- o teste é inconclusivo.
Vamos pra resolução!!
Passo 2
O enunciado nos deu que:
E que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma tabela. Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Bom, vimos aqui que varia bastante. Vamos tentar achar um padrão para eles.
1º - Percebe como os valores de varia o sinal entre positivo e negativo? Então vamos precisar adicionar um termo que não mude o valor dos termos, mas faça seu sinal mudar de acordo com . Como quando é par é negativo, nossos termos podem ser escritos como:
2° - Agora um padrão para os termos em si. No denominador temos:
Já que por exemplo, quando , temos:
E no denominador vamos ter:
Então ficamos com:
Passo 3
Podemos escrever como os termos de uma série de Taylor como mostrei no passo 1:
Substituindo os valores que achamos no passo 2, temos:
Nossa série de Taylor vai ser:
Obtivemos ela substituindo pelo valor de encontrado no passo 2. Note que o termo para é . Como ele é constante podemos tirá-lo da soma.
Em resumo, nossa série de Taylor da função será:
Passo 4
Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o Teste da Razão. Temos:
E fazendo , temos:
Fazendo a divisão das frações dentro do limite, podemos escrever como a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:
Vamos abrir os termos com soma no expoente usando a propriedade :
Simplificando termos que estão se dividindo, ficamos com:
Agora podemos tirar os termos que dependem de do módulo, já que é sempre positivo:
Dividindo o numerador e denominador por , temos por fim:
O teste da razão diz que para que a série seja convergente, então:
Portanto temos que para convergência,
Resposta
O raio de convergência é .
A série de Taylor da Função é: