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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 16

Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco casas decimais.)

16. ∫ 0 0,2 e - x -   1 x d x

Passo 1

Fala, galera! Tudo beleza?

Bom, o primeiro passo para conseguir a aproximação que a questão pede é tentar escrever o integrando, ou seja, e - x -   1 x , como uma série de potências. Na verdade, não precisamos escrever todos os termos como série de potência. Podemos ser mais espertos e escrever somente e - x . Você já vai entender o porquê disso. Nós sabemos que a série de potência da função exponencial é (Tabela 10.1 do livro)

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então, para obter a série de e - x , é só trocar x por - x na fórmula acima:

e - x = ∑ n = 0 ∞ - x n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n ! = 1 - x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir essa expressão na fórmula do integrando. Primeiro, temos

e - x - 1 = 1 - x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅ - 1 = - x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então,

e - x -   1 x = - 1 + x 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n - 1 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Integrando essa série na integral indefinida, nós ficamos com

∫   e - x -   1 x d x = ∫ - 1 + 1 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n - 1 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d x = C - x + x 2 2 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n n ⋅ n !

Passo 3

Para finalizar, vamos agora usar a integral definida e calcular alguns termos até obter apenas 1 0 - 3 de erro. Temos

∫ 0 0,2 e - x -   1 x d x = - x + x 2 2 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x n n ⋅ n ! ⎥ 0 0,2 = - 0,2 + 0,2 2 2 ⋅ 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 0,2 n n ⋅ n !

O primeiro termo já nos dá - 0,2 . O segundo, fica

0,2 2 2 ⋅ 2 ! = 0,04 4 = 0,01

O terceiro vai ser

- 0,2 3 3 ⋅ 3 ! = - 0,008 3 ⋅ 6 ≈ - 0,00044

Prontinho, já temos o primeiro termo menor que 1 0 - 3 = 0,001 . Agora, podemos somar todas essas contribuições:

∫ 0 0,2 e - x - 1 x d x = - 0,2 + 0,01 - 0,00044 = - 0,19044

Por enquanto é só, nos vemos na próxima!

Resposta

- 0,19044

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