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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 53

Substitua x por - x na série de Taylor para l n ( 1   +   x ) para obter uma série para l n ( 1   -   x ) . Em seguida, subtraia da série de Taylor para l n ( 1   -   x ) para mostrar que, para | x |   <   1 ,

l n   1   +   x 1   -   x   =   2   x + x 3 3 + x 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅ .

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Que ótimo te ver por aqui, vamos lá para mais uma questão!

O enunciado pede para usar a série de Taylor de l n ( 1   +   x ) , depois trocar x por - x nessa série para obter a série de l n ( 1   -   x ) e, depois disso, obter a série de l n   1   +   x 1   -   x . Vamos fazer exatamente isso, começando com a série de l n ( 1   +   x ) :

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅   ,   - 1 < x ≤ 1

Passo 2

Agora a gente trocar x por - x para obter a série de l n ( 1   -   x ) :

l n ( 1 - x ) =   - x - ( - x ) 2 2 + ( - x ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( - x ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

l n ( 1 - x ) =   - x - x 2 2 - x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( - 1 ) n x n n -   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

l n ( 1 - x ) =   - x - x 2 2 - x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - x ) n n -   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

onde a gente usou o fato de que

( - 1 ) n - 1 ( - 1 ) n = ( - 1 ) 2 n - 1 = ( - 1 ) 2 n ( - 1 ) - 1 = ( - 1 ) 2 n ⋅ ( 1 - 1 ) =   - 1

pois 2 n é par, então ( - 1 ) 2 n = 1 .

Passo 3

Para finalizar, a gente tem que lembrar que

l n   1   +   x 1   -   x   = l n   ( 1 + x )   - l n ( 1 - x )

⇒ l n   1   +   x 1   -   x   = ( - 1 ) n - 1 x n n   -   - ( - x ) n n

Então subtraindo uma série da outra, obtemos

l n   1   +   x 1   -   x   = x - x 2 2 + x 3 3 - ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n - 1 x n n + ⋅ ⋅ ⋅   - - x - x 2 2 - x 3 3 - ⋅ ⋅ ⋅   - ( - x ) n n -   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l n   1   +   x 1   -   x   = x - x 2 2 + x 3 3 - ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅   + x + x 2 2 + x 3 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - x ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l n   1   +   x 1   -   x   = 2 x + 2 x 3 3 + 2 x 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l n   1   +   x 1   -   x   = 2   x + x 3 3 + x 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

Prontinho, missão cumprida! Até a próxima, galera!

Resposta

Veja a resolução acima.

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