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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 19

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 19-22 com um erro de magnitude menor que 1 0 - 8

19. ∫ 0 0,1 s e n   x x d x

Passo 1

Fala, pessoal! Essa questão segue exatamente o mesmo raciocínio das anteriores. Vamos expressar o integrando como uma série de potência, integrar e aplicar os limites até o termo que contenha um erro menor que 1 0 - 8 . Então, sem mais delongas, vamos partir para a ação!

A série da função s e n   x já é bem conhecida e você pode consultar a Tabela 10.1, se quiser dar uma conferida, mas nós também escrevemos ela abaixo:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Ou seja, para obter s e n   x x , é só dividir a série acima por x :

s e n   x x = 1 - x 2 3 ! + x 4 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Nesse passo, nós vamos substituir a série do passo anterior na integral e fazer a integração termo a termo:

∫ 0 0,1 s e n   x x d x =   ∫ 0 0,1 1 - x 2 3 ! + x 4 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d x

∫ 0 0,1 s e n   x x d x =   x - x 3 3 ⋅ 3 ! + x 5 5 ⋅ 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n   +   1 ) ⋅ ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 0,1

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites em cada um dos termos até chegar em um que seja menor que 1 0 - 8 :

  x 0 0,1 = 0,1

  - x 3 3 ⋅ 3 ! 0 0,1 = - ( 0,1 ) 3 18 ≈ - 0,000055556

  x 5 5 ⋅ 5 ! 0 0,1 = ( 0,1 ) 5 600 = 0,000000017

  - x 7 7 ⋅ 7 ! 0 0,1 = - ( 0,1 ) 7 35280 ≈ - 0,0000000003

Pronto, esse foi o primeiro termo menor que 1 0 - 8 . Agora, vamos somar tudo

∫ 0 0,1 s e n   x x d x = 0,1 - 0,000055556 + 0,000000017 - 0,0000000003

∫ 0 0,1 s e n   x x d x = 0,0999444607

Arredondando para a quinta casa decimal, ficamos com

∫ 0 0,1 s e n   x x d x = 0,09994

Isso é tudo pessoal! Nos vemos na próxima!

Resposta

0,09994

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