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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 66

Série para t g - 1 x para | x | > 1 Deduza as séries

t g - 1 x   = π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   x > 1

t g - 1 x   = - π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   x <   - 1

integrando a série

1 1 + t 2 =   1 t 2 ⋅ 1 1   +   ( 1 / t 2 ) = 1 t 2 - 1 t 4 + 1 t 6 - 1 t 8 +   ⋅ ⋅ ⋅

no primeiro caso, de x a ∞ e, no segundo caso, de - ∞ a x .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo?

Para entender a motivação dessa questão, temos que lembrar que

d d t ( t g - 1   t ) = 1 1   +   t 2

Então, quando integramos a série para 1 1   +   t 2 , estamos obtendo a série para t g - 1   x . Agora só precisamos entender os intervalos. Quando 0 ≤ t ≤ ∞ então, 1 < x e quando - ∞ ≤ t ≤ 0 então, x < - 1 . Assim,

t g - 1   x | x → ∞ - t g - 1   x = ∫ x ∞ d d t ( t g - 1   t )   d t = ∫ x ∞ 1 1   +   t 2 d t ,   1 <   x

⇒ π 2 - t g - 1   x = ∫ x ∞ d d t ( t g - 1   t )   d t = ∫ x ∞ 1 1   +   t 2 d t ,   1 <   x

⇒ t g - 1   x = π 2 - ∫ x ∞ 1 1   +   t 2 d t ,   1 <   x

e

t g - 1   x - t g - 1   x | x → ∞ = ∫ - ∞ x d d t ( t g - 1   t )   d t = ∫ - ∞ x 1 1   +   t 2 d t ,     x < - 1

t g - 1   x + π 2 = ∫ - ∞ x d d t ( t g - 1   t )   d t = ∫ - ∞ x 1 1   +   t 2 d t ,     x < - 1

⇒ t g - 1   x = - π 2 + ∫ - ∞ x 1 1   +   t 2 d t ,     x < - 1

Nos próximos passos, vamos fazer essas duas integrações.

Passo 2

Usando a expansão em série que foi dada no enunciado, podemos resolver a primeira integral:

t g - 1   x = π 2 - ∫ x ∞ 1 t 2 - 1 t 4 + 1 t 6 - 1 t 8 +   ⋅ ⋅ ⋅ d t ,   1 <   x

⇒ t g - 1   x = π 2 - - 1 t + 1 3 t 3 - 1 5 t 5 + 1 7 t 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ x ∞ ,   1 <   x

⇒ t g - 1   x = π 2 - 0 + - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 + 1 7 x 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ - ,   1 <   x

⇒ t g - 1   x = π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 + 1 7 x 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ ,   1 <   x

Passo 3

Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa para a segunda integral:

Usando a expansão em série que foi dada no enunciado, podemos resolver a primeira integral:

t g - 1   x = - π 2 + ∫ - ∞ x 1 t 2 - 1 t 4 + 1 t 6 - 1 t 8 +   ⋅ ⋅ ⋅ d t ,     x < - 1

⇒ t g - 1   x = - π 2 + - 1 t + 1 3 t 3 - 1 5 t 5 + 1 7 t 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ - ∞ x ,       x < - 1  

⇒ t g - 1   x = - π 2 + - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 + 1 7 x 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ - 0 ,       x < - 1

⇒ t g - 1   x = - π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 + 1 7 x 7 -   ⋅ ⋅ ⋅ ,     x < - 1

Prontinho, conseguimos provar o resultado. Muito legal, né? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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