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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 34

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

34. l i m y   →   0   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y

Passo 1

Fala, pessoal! Como vão as coisas? Que ótimo. Então, bora lá para mais uma questão!

A ideia aqui é escrever   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y como uma série de potência e depois calcular o limite. Para isso, precisamos das séries do seno, cosseno e arco tangente, que vamos colocar abaixo:

c o s y = 1 - y 2 2 ! + y 4 4 ! - y 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   y = y - y 3 3 ! + y 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

  t g - 1   y = y - y 3 3 + y 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

O próximo passo é agora tentar obter a função   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y como uma série de potências. Para isso, vamos calcular t g - 1   y - s e n   y e y 3 c o s y separadamente. Primeiro para t g - 1   y - s e n   y :

t g - 1   y - s e n   y = y - y 3 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ - y - y 3 3 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋅ ⋅ ⋅

⇒ t g - 1   y - s e n   y = - y 3 3 + y 5 5 - ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + y 3 3 ⋅ 2 ! - y 5 5 ⋅ 4 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n - 1 y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! + ⋅ ⋅ ⋅

⇒ t g - 1   y - s e n   y = - y 3 3 1 - 1 2 ! + y 5 5 1 - 1 4 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n + 1 1 - 1 ( 2 n ) ! + ⋅ ⋅ ⋅

⇒ t g - 1   y - s e n   y = - y 3 3 1 2 + y 5 5 4 !   -   1 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ t g - 1   y - s e n   y = y 3 - 1 3 1 2 + y 2 5 4 !   -   1 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n - 2 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos calcular y 3 c o s y :

y 3 c o s y = y 3 1 - y 2 2 ! + y 4 4 ! - y 6 6 ! + . . . + ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) ! + . . .

Passo 3

Dividindo uma série pela outra, obtemos

  t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = y 3 - 1 3 1 2 + y 2 5 4 !   -   1 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n - 2 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ y 3 1 - y 2 2 ! + y 4 4 ! - y 6 6 ! + . . . + ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) ! + . . .

  t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = - 1 3 1 2 + y 2 5 4 !   -   1 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n - 2 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ 1 - y 2 2 ! + y 4 4 ! - y 6 6 ! + . . . + ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) ! + . . .

Agora, tomamos o limite

l i m y   →   0   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = l i m y   →   0 -   1 3 1 2   +   y 2 5 4 !   -   1 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n y 2 n - 2 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ 1   -   y 2 2 !   +   y 4 4 !   -   y 6 6 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l i m y   →   0   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = l i m y   →   0 -   1 3 1 2   +   y 2 5 4 !   -   1 4 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n y 2 n - 2 2 n + 1 ( 2 n ) !   -   1 ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ l i m y   →   0 1 -   y 2 2 !   +   y 4 4 !   -   y 6 6 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n y 2 n ( 2 n ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ l i m y   →   0   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = - 1 3 1 2 1 =   - 1 6

Pronto, missão cumprida. Nos vemos na próxima!

Resposta

l i m y   →   0   t g - 1   y   -   s e n   y y 3   c o s   y = - 1 6

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