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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 69

Estabeleça as equações no Exercício 68 combinando a série de Taylor formal para e i θ e e - i θ .

Passo 1

E aí, pessoal! Como é que vai?

Essa questão pede que a gente use a expansão em série da função exponencial para mostrar as equações do exercícios 68. Para isso, temos que lembrar que

e x = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Então, trocando x por i θ , obtemos

e i θ = 1 + i θ + ( i θ ) 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( i θ ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ = 1 + i θ - θ 2 2 ! + i θ 3 3 !   ⋅ ⋅ ⋅   + i 2 n ( 2 n ) ! θ 2 n - i 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ = 1 + i θ - θ 2 2 ! + i θ 3 3 !   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n - ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Para x por - i θ , vem que

e - i θ = 1 - i θ + ( - i θ ) 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - i θ ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e - i θ = 1 - i θ - θ 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) 2 n i 2 n ( 2 n ) ! θ 2 n + ( - 1 ) 2 n + 1 i 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e - i θ = 1 - i θ - θ 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + i 2 n ( 2 n ) ! θ 2 n - i 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e - i θ = 1 - i θ - θ 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n + ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Nos dois casos, nós usamos i 2 n = ( i 2 ) n = ( - 1 ) n e i 2 n + 1 = i 2 n i = ( - 1 ) n i

Passo 2

Agora que temos a expansão em série, podemos obter as expressões. Somando as duas séries e dividindo por 2 , obtemos

e i θ   +   e - i θ 2 = 1 2 1 + i θ - θ 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n - ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

+ 1 2 1 - i θ - θ 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n + ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ   +   e - i θ 2 = 1 2 2 - 2 θ 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅   + 2 ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ   +   e - i θ 2 = 1 - θ 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

No lado direito temos justamente a série para o cosseno. Então:

e i θ   +   e - i θ 2 = c o s θ

Passo 3

Já estamos na reta final. Subtraindo as duas séries e dividindo por 2 , obtemos

e i θ   -   e - i θ 2 = 1 2 1 + i θ - θ 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n - ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

- 1 2 1 - i θ - θ 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n + ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ   -   e - i θ 2 = 1 2 2 i θ + ⋅ ⋅ ⋅   - 2 ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅ = i θ + ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n + 1 i ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ e i θ   -   e - i θ 2 = i θ +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Os termos dentro de colchetes correspondem justamente a série para o seno. Assim,

⇒ e i θ   -   e - i θ 2 = i   s e n   θ

⇒ e i θ   -   e - i θ 2 i =   s e n   θ

Ufa, chegamos ao fim de mais uma questão! E você, curtiu essa resolução? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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