Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 42

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

42. 1 4 3 + 1 4 4 + 1 4 5 + 1 4 6 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Para resolver essa questão, temos que identificar como é o termo geral dessa série. Se a gente olhar bem para a série, vemos que todos os termos tem a forma

1 4 n

mas começando em n = 3 . Na tabela 10.1, vemos que a série que mais se aproxima disso é a de 1 1 - x :

1 1 - x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n ,   | x | < 1

Passo 2

Então, fazendo x = 1 4 , obtemos

1 1 - 1 4 = 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

1 4 - 1 4 = 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

4 3 = 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

Passo 3

Para obter a série que queremos, temos que subtrair 1 + 1 4 + 1 4 2 dos dois lados da última equação:

4 3 - 1 + 1 4 + 1 4 2 = 1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + ⋯ + 1 4 n + ⋯ - 1 + 1 4 + 1 4 2

⇒ 4 3 - 1 - 1 4 - 1 16 = 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

⇒ 16 ⋅ 4   -   48   -   12   -   3 48 = 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

⇒ 64   -   63 48 = 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

⇒ 1 48 = 1 4 3 +   ⋯   + 1 4 n +   ⋯

Ou seja, a soma da série pedida é igual 1 48 ≈ 0,02 . O que você achou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

1 48 ≈ 0,02 .

Exercícios de Livros Relacionados

Use as séries de Maclaurin da Tabela 1 para obter a série de Maclaurin para a função dada. f x = arctg ⁡ x 2
Use as séries de Maclaurin da Tabela 1 para obter a série de Maclaurin para a função dada. f x = s e n π x 4
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Especifique o raio de convergência. f x = 1 - x 3 / 4
Prove que a série obtida no exercício 17 representa senh ⁡ x para qualquer x .
Calcule a integral indefinida como uma série infinita. ∫ x 2 sen ⁡ x 2 d x