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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 6

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 1 + 9 x 2

Passo 1

Faaaaaaaala galerinha!? Bora lá gabaritar essa questão!

O que o enunciado pede? Bom, temos uma função f ( x ) da qual precisamos encontrar uma série de potências e determinar seu intervalo de convergência.

f x = 1 1 + 9 x 2

Vish! Como faço isso?

Vamos com calma e pensar juntos. Primeiro vamos observar a função f ( x ) , e reparar que conhecemos uma série de potência com essa cara. Olhe para a série geométrica abaixo, onde r é a razão:

S = 1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n

Percebeu a semelhança entre elas? Perfeito né!? Agora, sabemos nosso caminho de resolução. Vamos fazer alguns ajustes para f ( x ) ficar parecida e conseguirmos expressar em série de potência.

Tá, mas o intervalo de convergência? Para isso, vamos utilizar do critério de convergência da própria série geométrica. Onde a série converge para

r < 1

Depois desse bizu ficou fácil ein! Bora colocar mão na massa então!

Passo 2

Agora, vamos comparar a função f(x) com a série geométrica que mencionamos anteriormente:

S = 1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n

f x = 1 1 + 9 x 2

Vamos fazer uma mudança com a nossa f ( x ) para que ela se pareça com essa S . Vejamos só:

f x = 1 1 + 9 x 2 = 1 1 - - 9 x 2

Percebam que se trocarmos - 9 x 2 por r , temos exatamente a função S . Portanto, basta mudar r por - 9 x 4 na série, isto é:

f x = 1 1 + 9 x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 9 x 2 n

Assim, teremos a seguinte serie de potência para f ( x ) :

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 x 2 n

Passo 3

Agora, vamos avaliar o intervalo de convergência.

Lembra que mencionamos antes que a serie converge para:

r < 1

E avaliando nossa serie, temos que a razão é:

r = - 9 x 2

Logo,

- 9 x 2 < 1

9 x 2 < 1

x 2 < 1 9

x = 1 9

x = ± 1 3

- 1 3 < x < 1 3

Portanto, o seu intervalo de convergência é - 1 / 3 < x < 1 / 3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 x 2 n

Intervalo de convergência: - 1 / 3 < x < 1 / 3 .

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