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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 5

Calcule ∫ ∫ D 2 x + 1   d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde usaremos:

u = x 2 - y

v = x + y

Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:

1 ∂ x , y ∂ u , v = ∂ u , v ∂ x , y = det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Então, colocamos os valores:

det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = det ⁡ 2 x - 1 1 1 = 2 x + 1

Logo usaremos o inverso disso:

∂ x , y ∂ u , v = 1 2 x + 1

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q ( 2 x + 1 ) ⋅ 1 2 x + 1 d u d v

A = ∫ ∫ Q 1   d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

y = x 2

y = x 2 + 1

x + y = 1

x + y = 2

E a gente tem as equações:

u = x 2 - y

v = x + y

Então nossa região em Q fica:

y = x 2 → u = 0

y = x 2 + 1 → u = - 1

x + y = 1 → v = 1

x + y = 2 → v = 2

Logo podemos escrever assim:

- 1 ≤ u ≤ 0

1 ≤ v ≤ 2

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ 1 2 ∫ - 1 0 1   d u d v

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 1 2 u - 1 0 d v

= ∫ 1 2 1   d v

E integramos denovo:

A = v 1 2

= - 2 - 1

= 1

E prontinho. 😊

Resposta

A = 1

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Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = u v
Determine o jacobiano da transformação. x = α sen ⁡ β , y = α cos ⁡ β
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S é o disco dado por u 2 + v 2 ≤ 1 ; x = a u , y = b v
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R y 2 d A , onde R é a região limitada pelas curvas x y = 1 , x y = 2 , x y 2 = 1 , x y 2 = 2 ; u = x y , v = x y 2 .Ilustre utilizando uma cal